Đến nội dung

Hình ảnh

Topic về Tích phân đường - Tích phân mặt

* * * * - 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 42 trả lời

#1
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Để củng cố kiến thức cho các bạn Sinh viên năm nhất đang học về Tích phân đường, tích phân mặt. Mình sẽ gửi lên đây những bài toán từ cơ bản đến nâng cao để các bạn rèn luyện, trau dồi khả năng giải toán. Như tiêu đề của topic thì mình chỉ xin đề cập đến hai vấn đề là Tích phân đường và tích phần mặt trong chương trình Toán cao cấp.

Ta sẽ bắt đầu với

PHẦN 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I. Tóm tắt kiến thức.
Phần này các bạn có thể xem lại các khái niệm, tính chất, các định lí, hệ quả cũng như phương pháp tính trong các giáo trình Toán cao cấp liên quan.

II. Ví dụ và bài tập.

Ví dụ 1: Tính $\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds$, trong đó $L:{x^2} + {y^2} = 2ax$

GIẢI.
Chuyển qua tọa độ cực $\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \\ y = r\sin \varphi \\
\end{gathered} \right.$

Trong tọa độ cực phương trình đường tròn có dạng $r = 2a\cos \varphi , - \frac{\pi }{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}$

Vi phân độ dài cung: \[ds = \sqrt {{r^2} + {r_\varphi }{{^\prime }^2}} d\varphi = \sqrt {4{a^2}{{\cos }^2}\varphi + 4{a^2}{{\sin }^2}\varphi } d\varphi = 2ad\varphi \]
Do đó: \[\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\left( {2a\cos \varphi } \right)\cos \varphi - \left( {2a\sin \varphi } \right)\sin \varphi } \right]} 2ad\varphi \]
\[ = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\varphi } d\varphi = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 + \cos 2\varphi }}{2}} \right)} d\varphi = ... = \boxed{2\pi {a^2}}\]
Ví dụ 2: Tính $I = \oint\limits_L {{y^2}dx - {x^2}} dy$, trong đó $L$ là chiều dương chu vi của nửa mặt tròn ${x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0$.

GIẢI. Ta có thể giải quyết bài này bằng 2 cách.

Cách 1: Tính trực tiếp (các bạn vẽ hình ra để dễ nhìn nhé)

Xét nửa mặt tròn tâm $O$ bán kính $R$ nằm trên trục $Ox$ có chiều từ $B \to A,B\left( {R;0} \right),A\left( { - R;0} \right)$

Phương trình tham số của nửa đường tròn: $x = R\cos t,y = R\sin t$

Khi đó: \[I = \int\limits_{ACB} { + \int\limits_{AB} = \int\limits_0^\pi {\left( { - {R^2}{{\sin }^2}t.R\sin t - {R^2}{{\cos }^2}t.R\cos t} \right)dt} } \]
\[ = {R^3}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right)d\left( {\cos t} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)d\left( {\sin t} \right)} \]
\[ = {R^3}\left( {\left. {\cos t} \right|_0^\pi - \left. {\frac{1}{3}{{\cos }^3}t} \right|_0^\pi - \left. {\sin t} \right|_0^\pi + \left. {\frac{1}{3}{{\sin }^3}t} \right|_0^\pi } \right) = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]
Cách 2. Dùng công thức Green.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
P = {y^2}\\
Q = - {x^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y\\
\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = - 2x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = - \left( {2x + 2y} \right) = - 2\left( {x + y} \right)\]
Khi đó: \[I = \iint\limits_D {\left[ { - 2\left( {x + y} \right)} \right]}dxdy = - 2\iint\limits_D {\left( {x + y} \right)dxdy}\]
trong đó $D = \left\{ {\left( {x;y} \right)/{x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0} \right\}$

Chuyển qua tọa độ cực: $\left\{ \begin{array}{l}
x = r\cos \varphi \\
y = r\sin \varphi
\end{array} \right.$ với $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le r \le R\\
0 \le \varphi \le \pi
\end{array} \right.$

Do đó: \[I = - 2\int\limits_0^\pi {d\varphi } \int\limits_0^R {\left( {r\cos \varphi + r\sin \varphi } \right)r} dr = - 2\int\limits_0^\pi {\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)d\varphi \left. {\frac{{{r^3}}}{3}} \right|} _0^R = ... = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]

Chú ý: Công thức Green chỉ được áp dụng trong trường hợp đường lấy tích phân là đường cong kín và các hàm số $P\left( {x;y} \right),Q\left( {x;y} \right)$ và các đạo hàm riêng $\frac{{\partial P}}{{\partial y}},\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$ cùng liên tục trong miền $D$ giới hạn bởi đường cong không tự cắt trơn từng khúc $L = \partial D$.

Sau đây mình gửi tới các bạn một số bài tập.

Bài 1. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{x}{y}} ds$, trong đó $L$ là cung Parabol ${y^2} = 2x$ từ điểm $\left( {1;\sqrt 2 } \right)$ đến $(2;2)$.

Bài 2. Tính tích phân $\oint\limits_L {\left( {3{x^2} + y} \right)dx + \left( {x - 2{y^2}} \right)dy} $, trong đó $L$ là biên của hình tam giác với đỉnh $A\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {1;0} \right),\,\,C\left( {0;1} \right)$.

Bài 3. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{{\left( {x + y} \right)dx - \left( {x - y} \right)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} $, trong đó $L$ là chiều dương của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {a^2}$.

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
CHÚ Ý: KHI CÁC BẠN THAM GIA THẢO LUẬN THÌ NHỚ TUÂN THEO NHỮNG QUY ĐỊNH VỀ GỬI BÀI TRÊN DIỄN ĐÀN NHÉ. TUYỆT ĐỐI KHÔNG SPAM!

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ GHÉ THĂM.

---

#3
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Mọi người vào ủng hộ topic này nhé.

Đừng thờ ơ với Toán cao cấp như thế này chứ.

---

#4
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Tạm thời cho ongtroi "ghi" lại các công thức về TÍCH PHÂN ĐƯỜNG:

1. TRONG MẶT PHẲNG

* Cung $AB$ được cho bởi phương trình $y = y(x), a \le x \le b$ thì:
Tích phân đường loại 1:

$\int _{AB}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^2(x)}dx$

Tích phân đường loại 2:

$\int _{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}[P(x,y(x))+Q(x,y(x)).y'(x)]dx$


* Cung $AB$ được cho bởi phương trình tham số $x=x(t),y=y(t), t_1 \le t \le t_2$ thì:
Tích phân đường loại 1:

$\int _{AB}f(x,y)ds=\int _{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t)).\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

Tích phân đường loại 2:

$\int _{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))+Q(x(t),y(t)).y'(t)]dt$


2. TRONG KHÔNG GIAN: Tương tự trong mặt phẳng.

3. CÔNG THỨC GREEN:

$\int \int_{D} \left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )dxdy=\int _{L}Pdx+Qdy$

trong đó $D$ là một miền liên thông, bị chặn, có biên $L$ gồm một hay nhiều đường kín trơn từng khúc.

4. VI PHÂN TOÀN PHẦN:

Dựa vào định lí bốn mệnh đề tương đương có thể tìm một hàm số $u(x,y)$ dựa vào vi phân toàn phần của hàm số.
+ Biểu thức $Pdx+Qdy$ là một vi phân toàn phần của hàm số $u(x,y)$ nào đó trong miền $D$ khi và chỉ khi:
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

+ Cách xác định hàm $u(x,y)$

$u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy+C$

hay $u(x,y)=\int_{y_0}^{x}Q(x_0,y)dy+\int_{x_0}^{x}P(x,y)dx+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 11-05-2012 - 16:07


#5
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Chém bài 1, anh em chém tiếp cho topic sôi động lên nào!

Nhận xét, đây là tích phân đường loại 1 và cung $L$ được cho dạng $y = y(x)$. Áp dụng công thức cho ngay kết quả!
$I=\int_{1}^{2}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+2x}dx\\ \\=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{1}^{2}\sqrt{2x^2+2x}dx$
Tích phân hàm một biến, OK

#6
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
1. Em xin cảm ơn anh ongtroi đã ủng hộ topic.

2. Mình tha thiết kêu gọi mọi người hãy dành chút thời gian quan tâm đến box Toán Cao cấp

3. Mình có câu hỏi nhỏ: Làm thế nào để tạo được hứng thú cho các bạn với Toán Cao cấp?

4. Hơi lạc đề tí.

5. Xin chân thành cảm ơn các bạn.

---

#7
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Chém bài 3 vậy:

Nhận xét, đây là tích phân đường loại 2 và $L$ được cho bởi đường tròn mà thông qua đó ta có thể biểu diễn về dạng tham số và áp dụng công thức ngay trường hợp này là OK

Viết lại phương trình đường tròn: $\left\{\begin{matrix}
x=a\cos t\\y=a\sin t

\end{matrix}\right. ,t \in [0;2\pi]$

Áp dụng thẳng công thức thì OK

$I=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{2\pi}[a(\cos t+\sin t)-a^2(\cos t-\sin t)\cos t]dt\\ \\ \\=\frac{1}{a}\int_0^{2\pi}(\cos t+\sin t)dt-\int_0^{2\pi}(\cos^2t-\sin t\cos t)dt$

Đến đây OK

Bài tập tiếp theo

Bài 4: Tính tích phân: $I=\oint_L(x+y)dx-(x-y)dy$ trong đó $L$ là elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Bài 5: Tính tích phân: $I=\oint _L\frac{dx-dy}{x+y}$ lấy dọc theo chu vi của hình vuông với các đỉnh là
$A(1;0),B(0;1),C(-1;0),D(0;-1)$, với điều kiện lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 15-05-2012 - 11:10


#8
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Mọi người tiếp tục giải quyết bài 2, 4 và 5 để có thêm bài viết mới nào.

---

#9
huyquangvip

huyquangvip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
câu 4:
phương trình chính tắc của L là $\left\{\begin{matrix} x=a.cost\\y=b.sint \end{matrix}\right., t \in \left ( 0,2\pi \right )$
ta có: $dx=-a.sintdt, dy= b.costdt$
suy ra: $I = \int_{0}^{2\pi }(a.cost+b.sint)(-asintdt) - (a.cost - b.sint)(b.costdt)\\ = \int_{0}^{2\pi }[(-a^{2}.sint.cost-ab.sin^{2}t)- (ab.cos^{2}t-b^{2}.sint.cost)]dt$
đến đây thì giải ra là xong rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyquangvip: 29-05-2012 - 14:13


#10
hoangnbk

hoangnbk
mình thêm 2 số bài tích phân mặt hưởng ứng nhé:
1)Tính $ \int_{S} \int z(x^2+y^2)dxdy $ trong đó S là nửa mặt cầu $x^2+y^2+z^2=1; z \geq 0$ hướng S ra ngoài
2) Tính $ \int_{S} \int x^2y^2z dxdy $, trong đó S là nửa mặt cầu $x^2+y^2+z^2=R^2; z \leq 0$, hướng S ra ngoài

#11
tranvietcuong

tranvietcuong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
bài 5: Hình vuông này đã có 2 điểm không xác định rồi mà

________________________________

Bạn nói rõ hơn 2 điểm không xác định là như thế nào bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 11-06-2012 - 20:50

Ai dota vao dota room 1 pm nick [Trang]Nhung nhé !!!!

#12
Mycroft

Mycroft

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
Mọi người cho mình hỏi về cách xác định khoảng của $\varphi$ khi chuyến sang tọa độ cực.Ví dụ pt của đường cong trong tọa độ cưc là r=a$\sqrt{cos2\varphi}$ thì theo lời giải có 2 khoảng của $\varphi$, vậy tiêu chuẩn xác định khoảng của $\varphi$ là gì ?

#13
phamchitrung

phamchitrung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Chém bài 1, anh em chém tiếp cho topic sôi động lên nào!

Nhận xét, đây là tích phân đường loại 1 và cung $L$ được cho dạng $y = y(x)$. Áp dụng công thức cho ngay kết quả!
$I=\int_{1}^{2}\frac{x}{\sqrt{2x}}\sqrt{1+2x}dx\\ \\=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{1}^{2}\sqrt{2x^2+2x}dx$
Tích phân hàm một biến, OK

Hình như là x chứ không phải là 2x :D

#14
tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Tỡ xin giải 2 bài tích phân mặt ở trên
Bài 1. Ta thấy mặt trên chưa tạo thành 1 vật kín để áp dụng công thức G-O do đó ta sẽ thêm vào mặt phẳng $z=0$ có biên là đường tròn $x^2+y^2=1$
Khi đó ta có
$$I = \iint\limits_D {} = \iint\limits_{D \cup {D_1}} {} - \iint\limits_{{D_1}} {} = \iint\limits_{D \cup {D_1}} {z\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy}$$

Khi đó áp dụng công thức Gauss-Ostro ta có
$$I = \mathop{{\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-31.2mu \bigodot}\limits_{D \cup {D_1}}
 {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)d{xdydz}} $$
Đổi biến trong toạ độ cầu là ra



#15
Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

1, $\int_{AB} (x-y)ds$; AB là đoạn thẳng nối hai điểm $A(0,0) B(4,3)$
2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

 

 
5, $I=\int_{L} (x^2 - y^2)dx$; là đường cung của parapol $y=x^2$ với x trong khoảng $x=0$ đến $x=2$
mọi người giúp em nhá. Em sắp thi cuối kì. Mà phần này em không hiểu rõ
 
MoD: Công thức kẹp trong cặp dấu $
 
$Công thức$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-06-2013 - 12:04


#16
Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

sao em ko viết được phương trình như mọi ng nhỉ. Em làm theo đúng chỉ dẫn mà



#17
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết

Bạn xem lại tóm tắt lí thuyết này áp dụng nhé! Theo mình thấy các bài này cũng nhẹ nhàng!

Tạm thời cho ongtroi "ghi" lại các công thức về TÍCH PHÂN ĐƯỜNG:

1. TRONG MẶT PHẲNG

* Cung $AB$ được cho bởi phương trình $y = y(x), a \le x \le b$ thì:
Tích phân đường loại 1:

$\int _{AB}f(x,y)ds=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^2(x)}dx$

Tích phân đường loại 2:

$\int _{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}[P(x,y(x))+Q(x,y(x)).y'(x)]dx$


* Cung $AB$ được cho bởi phương trình tham số $x=x(t),y=y(t), t_1 \le t \le t_2$ thì:
Tích phân đường loại 1:

$\int _{AB}f(x,y)ds=\int _{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t)).\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

Tích phân đường loại 2:

$\int _{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{t_1}^{t_2}[P(x(t),y(t))+Q(x(t),y(t)).y'(t)]dt$


2. TRONG KHÔNG GIAN: Tương tự trong mặt phẳng.

3. CÔNG THỨC GREEN:

$\int \int_{D} \left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right )dxdy=\int _{L}Pdx+Qdy$

trong đó $D$ là một miền liên thông, bị chặn, có biên $L$ gồm một hay nhiều đường kín trơn từng khúc.

4. VI PHÂN TOÀN PHẦN:

Dựa vào định lí bốn mệnh đề tương đương có thể tìm một hàm số $u(x,y)$ dựa vào vi phân toàn phần của hàm số.
+ Biểu thức $Pdx+Qdy$ là một vi phân toàn phần của hàm số $u(x,y)$ nào đó trong miền $D$ khi và chỉ khi:
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

+ Cách xác định hàm $u(x,y)$

$u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy+C$

hay $u(x,y)=\int_{y_0}^{x}Q(x_0,y)dy+\int_{x_0}^{x}P(x,y)dx+C$



#18
Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Bạn xem lại tóm tắt lí thuyết này áp dụng nhé! Theo mình thấy các bài này cũng nhẹ nhàng!

dạ, nhưng em không hiểu nên không thể áp dụng đc á. :((

Từng bước làm em cũng không rõ nữa. Mong anh chỉ giáo từng bài một. Mỗi bài a có thể gợi ý đc ko. Chứ a đưa công thức e cũng po1 tay



#19
KudoShinichiVN

KudoShinichiVN

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

E đang ôn thi lại ạ  :( nhưng có bài này làm mãi k được mong mọi người giúp e!
Tính $\int xyds$ giới hạn bởi ba điểm A(0;0), B(1;1) và C(1;3)?
Đoạn AB và AC e đã làm được rồi nhưng còn đoạn BC thì k biết thay y bằng gì, mong mọi người giải giùm e ạ, e cảm ơn!



#20
zarya

zarya

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 145 Bài viết

Theo mình nghĩ đoạn này x cố định bằng 1, y chạy từ 1 đến 3 còn ds=dy. Kết quả tích phân trên BC ra 4.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh