Chủ đề này có 42 trả lời

[gacon9492]

cho mình hỏi ???

khi chứng minh định lý 4 mệnh đề tương đương trong sách toán cao cấp A3 của nhà xuất bản giáo dục đến phần ở trang 110 

 

" vì phương trình của $MM_{1}$ là v=y  ( hằng số) nên v' = 0 và 

$\int_{M_{0}M_{1}}P(u,v)du+Q(u,v)dv=\int_{x}^{x+h}P(u,y)du.$

 

 theo định lý về giá trị trung bình đối với tích phân xác định ta có:$\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}P(u,y)dy=P(\overline{x},y), \overline{x}=x+\theta h, 0<\theta <1$

và khi $h\rightarrow 0$ thì $\overline{x}\rightarrow x$ do đó $P(\overline{x},y)\rightarrow P(x,y)$

 

vậy $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}P(u,y)dy=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}P(\overline{x},y)=P(x,y).$  "

 

mình thắc mắc là mình áp dụng định lý về giá trị trung bình như thế nào trong trường hợp trên ???

[HoaTheKiet]

cho mình hỏi ???

khi chứng minh định lý 4 mệnh đề tương đương trong sách toán cao cấp A3 của nhà xuất bản giáo dục đến phần ở trang 110 

 

" vì phương trình của $MM_{1}$ là v=y  ( hằng số) nên v' = 0 và 

$\int_{M_{0}M_{1}}P(u,v)du+Q(u,v)dv=\int_{x}^{x+h}P(u,y)du.$

 

 theo định lý về giá trị trung bình đối với tích phân xác định ta có:$\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}P(u,y)dy=P(\overline{x},y), \overline{x}=x+\theta h, 0<\theta <1$

và khi $h\rightarrow 0$ thì $\overline{x}\rightarrow x$ do đó $P(\overline{x},y)\rightarrow P(x,y)$

 

vậy $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}P(u,y)dy=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}P(\overline{x},y)=P(x,y).$  "

 

mình thắc mắc là mình áp dụng định lý về giá trị trung bình như thế nào trong trường hợp trên ???

Áp dụng thế này

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(t), t \in (a,b)$$

[PiscesAP]

Mọi ng giúp mình bài này vs:

Tính tích phân đường trong không gian:

$I=\oint ydx+zdy+xdz$ trong đó C là đường tròn giao của mặt cầu $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ và mạt phẳng x-y=0 theo hướng ngược kim đồng hồ nếu nhìn từ hướng dương của trục Ox

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PiscesAP: 18-12-2013 - 19:42

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Một a nhờ post giùm lời giải do k biết gõ tex.

$$x=y=t,z=\pm \sqrt{a^2-2t^2}$$

$$I=\int_{-\sqrt{2}a}^{\sqrt{2}a}\left (t+\sqrt{a^2-2t^2}-\frac{2t^2}{\sqrt{a^2-2t^2}} \right )dt+\int_{-\sqrt{2}a}^{\sqrt{2}a}\left (t-\sqrt{a^2-2t^2}+\frac{2t^2}{\sqrt{a^2-2t^2}} \right )dt=\int_{-\sqrt{2}a}^{\sqrt{2}a}2tdt=0$$

(Tích phân đầu ứng với z>0, tích phân sau ứng với z<0)

[faith94]

mọi người ơi giúp tớ bài này với:

Cho tích phân I=$\oint \left ( x+y \right )dx+xydy$

Trong trường hợp (L) là chiều dương của chu vi miền giới hạn bởi các đường $x=y^2$ và y=x

Tính tích phân theo cách trực tiếp và bằng công thức Green?

[hoainamcx]

1. Em xin cảm ơn anh ongtroi đã ủng hộ topic.

2. Mình tha thiết kêu gọi mọi người hãy dành chút thời gian quan tâm đến box Toán Cao cấp

3. Mình có câu hỏi nhỏ: Làm thế nào để tạo được hứng thú cho các bạn với Toán Cao cấp?

4. Hơi lạc đề tí.

5. Xin chân thành cảm ơn các bạn.

---

Thực sự thì toán cao cấp nếu mò thì rất khó, vì thế bọn em rất dễ nản. Chỉ khi cảm thấy toán cao cấp đơn giản thì bọn em sẽ tự khắc sẽ yêu toán hơn

[hoainamcx]

 

mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

1, $\int_{AB} (x-y)ds$; AB là đoạn thẳng nối hai điểm $A(0,0) B(4,3)$

2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ

3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

 

 

5, $I=\int_{L} (x^2 - y^2)dx$; là đường cung của parapol $y=x^2$ với x trong khoảng $x=0$ đến $x=2$

mọi người giúp em nhá. Em sắp thi cuối kì. Mà phần này em không hiểu rõ

 

MoD: Công thức kẹp trong cặp dấu $

 

$Công thức$

 

Có thể bạn thắc mắc:
1. Y'(x) = $\frac{3}{4}$
$x \mapsto f(x,y(x))\sqrt{1 + y'^{2}(x))}$
2. Trên parabôn $y=2x - x^2$ ta có $dy = (2-2x)dx$  . Do đó:

 $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$ = $\int_{2}^{0}[(2x - x^{2})- 2x(2 - 2x)]dx$ => bài 5
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoainamcx: 25-05-2014 - 11:18

[hoainamcx]

Up topic:
6. $\oint_{c}[(3xy+y^{2})dx + (2xy+x^{2})dy]$ C được giới hạn bởi đường tròn $x^{2} + y^{2} =4$ theo chiều ngược kim đồng hồ.

[hoainamcx]

2 bài của bạn Xù

7, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

8, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

[diepnguyensp]

cho mình hỏi cách xác định góc giữa véc tơ pháp tuyến với trục oz trong tích phân mặt loại 2 ntn vậy?
tính tp mặt loại 2 khi nào dùng ct ostrogradsky và ct stokes?
ai có bài tập phần này gửi cho mình với!

[vipngheosuytinh]

E đang ôn thi lại ạ  nhưng có bài này làm mãi k được mong mọi người giúp e!
Tính $\int xyds$ giới hạn bởi ba điểm A(0;0), B(1;1) và C(1;3)?
Đoạn AB và AC e đã làm được rồi nhưng còn đoạn BC thì k biết thay y bằng gì, mong mọi người giải giùm e ạ, e cảm ơn!

Theo mình nghĩ do x là hàm hằng nên ds=dy, chỉ cần thay giá trị x vào, còn cận là của y, sau đó tính như bình thường.

[cothomex]

Em có bài tích phân mặt mong mn giúp đỡ ạ. Bài 17a hinh̀ dưới đây ạ.

Hình gửi kèm

• 

[Ngohanganh2581]

Để củng cố kiến thức cho các bạn Sinh viên năm nhất đang học về Tích phân đường, tích phân mặt. Mình sẽ gửi lên đây những bài toán từ cơ bản đến nâng cao để các bạn rèn luyện, trau dồi khả năng giải toán. Như tiêu đề của topic thì mình chỉ xin đề cập đến hai vấn đề là Tích phân đường và tích phần mặt trong chương trình Toán cao cấp.

Ta sẽ bắt đầu với

PHẦN 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

I. Tóm tắt kiến thức.
Phần này các bạn có thể xem lại các khái niệm, tính chất, các định lí, hệ quả cũng như phương pháp tính trong các giáo trình Toán cao cấp liên quan.

II. Ví dụ và bài tập.

Ví dụ 1: Tính $\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds$, trong đó $L:{x^2} + {y^2} = 2ax$

GIẢI.
Chuyển qua tọa độ cực $\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \\ y = r\sin \varphi \\
\end{gathered} \right.$

Trong tọa độ cực phương trình đường tròn có dạng $r = 2a\cos \varphi , - \frac{\pi }{2} \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2}$

Vi phân độ dài cung: \[ds = \sqrt {{r^2} + {r_\varphi }{{^\prime }^2}} d\varphi = \sqrt {4{a^2}{{\cos }^2}\varphi + 4{a^2}{{\sin }^2}\varphi } d\varphi = 2ad\varphi \]
Do đó: \[\oint\limits_L {\left( {x - y} \right)} ds = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {\left( {2a\cos \varphi } \right)\cos \varphi - \left( {2a\sin \varphi } \right)\sin \varphi } \right]} 2ad\varphi \]
\[ = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\varphi } d\varphi = 4{a^2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 + \cos 2\varphi }}{2}} \right)} d\varphi = ... = \boxed{2\pi {a^2}}\]
Ví dụ 2: Tính $I = \oint\limits_L {{y^2}dx - {x^2}} dy$, trong đó $L$ là chiều dương chu vi của nửa mặt tròn ${x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0$.

GIẢI. Ta có thể giải quyết bài này bằng 2 cách.

Cách 1: Tính trực tiếp (các bạn vẽ hình ra để dễ nhìn nhé)

Xét nửa mặt tròn tâm $O$ bán kính $R$ nằm trên trục $Ox$ có chiều từ $B \to A,B\left( {R;0} \right),A\left( { - R;0} \right)$

Phương trình tham số của nửa đường tròn: $x = R\cos t,y = R\sin t$

Khi đó: \[I = \int\limits_{ACB} { + \int\limits_{AB} = \int\limits_0^\pi {\left( { - {R^2}{{\sin }^2}t.R\sin t - {R^2}{{\cos }^2}t.R\cos t} \right)dt} } \]
\[ = {R^3}\int\limits_0^\pi {\left( {1 - {{\cos }^2}t} \right)d\left( {\cos t} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}t} \right)d\left( {\sin t} \right)} \]
\[ = {R^3}\left( {\left. {\cos t} \right|_0^\pi - \left. {\frac{1}{3}{{\cos }^3}t} \right|_0^\pi - \left. {\sin t} \right|_0^\pi + \left. {\frac{1}{3}{{\sin }^3}t} \right|_0^\pi } \right) = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]
Cách 2. Dùng công thức Green.

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}
P = {y^2}\\
Q = - {x^2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y\\
\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = - 2x
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = - \left( {2x + 2y} \right) = - 2\left( {x + y} \right)\]
Khi đó: \[I = \iint\limits_D {\left[ { - 2\left( {x + y} \right)} \right]}dxdy = - 2\iint\limits_D {\left( {x + y} \right)dxdy}\]
trong đó $D = \left\{ {\left( {x;y} \right)/{x^2} + {y^2} \leqslant {R^2},y \geqslant 0} \right\}$

Chuyển qua tọa độ cực: $\left\{ \begin{array}{l}
x = r\cos \varphi \\
y = r\sin \varphi
\end{array} \right.$ với $\left\{ \begin{array}{l}
0 \le r \le R\\
0 \le \varphi \le \pi
\end{array} \right.$

Do đó: \[I = - 2\int\limits_0^\pi {d\varphi } \int\limits_0^R {\left( {r\cos \varphi + r\sin \varphi } \right)r} dr = - 2\int\limits_0^\pi {\left( {\cos \varphi + \sin \varphi } \right)d\varphi \left. {\frac{{{r^3}}}{3}} \right|} _0^R = ... = \boxed{ - \dfrac{4}{3}{R^3}}\]

Chú ý: Công thức Green chỉ được áp dụng trong trường hợp đường lấy tích phân là đường cong kín và các hàm số $P\left( {x;y} \right),Q\left( {x;y} \right)$ và các đạo hàm riêng $\frac{{\partial P}}{{\partial y}},\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$ cùng liên tục trong miền $D$ giới hạn bởi đường cong không tự cắt trơn từng khúc $L = \partial D$.

Sau đây mình gửi tới các bạn một số bài tập.

Bài 1. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{x}{y}} ds$, trong đó $L$ là cung Parabol ${y^2} = 2x$ từ điểm $\left( {1;\sqrt 2 } \right)$ đến $(2;2)$.

Bài 2. Tính tích phân $\oint\limits_L {\left( {3{x^2} + y} \right)dx + \left( {x - 2{y^2}} \right)dy} $, trong đó $L$ là biên của hình tam giác với đỉnh $A\left( {0;0} \right),\,\,B\left( {1;0} \right),\,\,C\left( {0;1} \right)$.

Bài 3. Tính tích phân $\oint\limits_L {\frac{{\left( {x + y} \right)dx - \left( {x - y} \right)dy}}{{{x^2} + {y^2}}}} $, trong đó $L$ là chiều dương của đường tròn ${x^2} + {y^2} = {a^2}$.

[binlv]

Bài 2. Tính tích phân ∮L(3x2+y)dx+(x−2y2)dy, trong đó L là biên của hình tam giác với đỉnh A(0;0),B(1;0),C(0;1).

annh có thể giải dùm em câu này được không

[Bum AD]

rất hay rất hữu ích

[Bum AD]

E đang ôn thi lại ạ  nhưng có bài này làm mãi k được mong mọi người giúp e!
Tính $\int xyds$ giới hạn bởi ba điểm A(0;0), B(1;1) và C(1;3)?
Đoạn AB và AC e đã làm được rồi nhưng còn đoạn BC thì k biết thay y bằng gì, mong mọi người giải giùm e ạ, e cảm ơn!

em nghĩ bác chia ra i = i1+i2+i3

trong đó i1 là đường thăng qua 2 điểm AB, I2 đường thẳng qua 2 điểm ac, i3 đường thẳng qua 2 điểm bc,

bác làm đc ab và ac rồi lý nào lại ko làm đc bc

[nguyenmanhkha10061999]

Dạ em sắp thi, mọi người cho em hỏi hướng giải bài này được không ạ?

Em làm trước giờ chỉ có x với y, còn nếu thêm z thì làm sao ạ?

 

Hình gửi kèm

• 

[vutuanhien]

Dạ em sắp thi, mọi người cho em hỏi hướng giải bài này được không ạ?

Em làm trước giờ chỉ có x với y, còn nếu thêm z thì làm sao ạ?

Từ đề bài ta suy ra ngay $z^2=\dfrac{3R^2}{4}$ tức là $z=\dfrac{\sqrt{3}R}{2}$. Còn lại thì tham số hóa $x, y$ theo $x$ hoặc theo tọa độ cực là được

[nhokwind1999]

mọi người tính giúp em bài này với.

tính tích phân đường loại 1 của

I= $I=\int x^{2}ds$ với C là đường tròn $x^{2}+ y^{2}+ z^{2}=a^{2}, x+y+z =0$

[Nguyen Tiep]

Mọi người có thể chứng minh giúp em cách đổi biến trong tích phân bội không ạ!