Cho $a,b,c\ge 0$ thõa $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \le 3$$
Chứng minh rằng: $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \le 3$
Bắt đầu bởi Alexman113, 08-05-2012 - 20:08
#1
Đã gửi 08-05-2012 - 20:08
Alexman113
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
#2
Đã gửi 13-05-2012 - 02:03
Crystal
-
- Hiệp sỹ
-
- 5534 Bài viết
ANGRY BIRDS
Cho $a,b,c\ge 0$ thõa $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \le 3$$
Đặt $x = {a^3},\,y = {b^3},\,z = {c^3} \Rightarrow x + y + z = 3$.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\[3{a^4}{b^4} \le {a^3}{b^3}\left( {{a^3} + {b^3} + 1} \right)\]
Khi đó ta cần chứng minh:
\[xy\left( {x + y + 1} \right) + yz\left( {y + z + 1} \right) + zx\left( {z + x + 1} \right) \le 9\]
Đồng bậc bất đẳng thức trên: \[3\sum {xy\left( {x + y} \right) + \left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + zx} \right) \le {{\left( {x + y + z} \right)}^3}} \]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + {z^3} + 3xyz \ge \sum {xy\left( {x + y} \right)} \]
Bất đẳng thức trên đúng theo Schur. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$
#3
Đã gửi 29-04-2021 - 07:45
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $a,b,c\ge 0$ thõa $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng: $$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \le 3$$
Ta luôn có: $(x^3+y^3+z^3)^8\geqslant 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^3$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
