Chủ đề này có 49 trả lời

[tieulyly1995]

Bài 9 :
Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})= 2012$
Tính $S=x+y$

[L Lawliet]

Bài 9 :
Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})= 2012$
Tính $S=x+y$

Ta dễ dàng chứng minh $x-\sqrt{x^2+2012}\neq 0$, $y-\sqrt{y^2+2012}\neq 0$
Lần lượt nhân 2 vế của phương trình vs $x-\sqrt{x^2+2012}\neq 0$, $y-\sqrt{y^2+2012}\neq 0$ cộng vế theo vế lại sẽ ra x = -y suy ra...
P/s: Ba mẹ la nên không dám bấm nhiều

[nthoangcute]

Bài 9 :
Cho $(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})= 2012$
Tính $S=x+y$

Làm nốt bài này rồi ngủ.

$(x+\sqrt{x^{2}+2012})(y+\sqrt{y^{2}+2012})= 2012$
$\to x+\sqrt{x^{2}+2012}=\frac{2012}{y+\sqrt{y^{2}+2012}}=\sqrt{y^{2}+2012}-y$
CMTT $y+\sqrt{y^{2}+2012}=\sqrt{x^{2}+2012}-x$
Từ đó cộng lại ta được $x+y=0$
_________________________________
Ông Quân làm hay đấy

[tieulyly1995]

Chốt bài cuối rồi đi ngủ mấy em nhé . Nhẹ nhàng thôi....
Bài 10 :
Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau và thỏa mãn : $(x+z)(z+y)= 1$
CMR:
$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(z+y)^{2}}\geq 4$

[nthoangcute]

Chốt bài cuối rồi đi ngủ mấy em nhé . Nhẹ nhàng thôi....
Bài 10 :
Cho các số thực không âm $x,y,z$ đôi một khác nhau và thỏa mãn : $(x+z)(z+y)= 1$
CMR:
$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(z+y)^{2}}\geq 4$

Có: $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(z+x)^{2}}+\frac{1}{(z+y)^{2}}$
$=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x+z)^2+(y+z)^2}{(x+z)^2(y+z)^2}$
$=\frac{1}{(x-y)^2}+x^2+y^2+2z^2+2z(x+y)$
$=\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2z^2+2xz+2yz+2xy$
$=\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2(x+z)(z+y)$
$=\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2$
$\geq 2+2=4$
Vậy ...

[tieulyly1995]

Hôm nay năng suất quá
Bài 11 :
giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}=2y^{2}+y +1 & \\ 4y^{3}=2z^{2}+z +1 & \\4z^{3}=2x^{2}+x+1 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieulyly1995: 09-05-2012 - 23:51

[nthoangcute]

Hôm nay năng suất quá
Bài 11 :
giải hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}=2y^{2}+y +1 & \\ 4y^{3}=2z^{2}+z +1 & \\4z^{3}=2x^{2}+x+1 & \end{matrix}\right.$

Từ hệ PT suy ra $x,y,z>0$
Ta có:
$4(x^3-y^3)=(2y+2z+1)(y-z)$ (1)
$4(y^3-z^3)=(2z+2x+1)(z-x)$ (2)
$4(z^3-x^3)=(2x+2y+1)(x-y)$ (3)
Nếu $x>y$ thì từ (1) suy ra $x^3-y^3>0$ hay $y>z$
Khi đó từ (2) lại suy ra $z>x$. Vậy $x>y>z>x$ vô lý
Nếu $x<y$ thì tương tự
Vậy $x=y$. Từ đó suy ra $x=y=z$
Vậy $4x^3=2x^2+x+1$
$\to (x+1)(4x^2+2x+1)=0$
Suy ra $x=y=z=-1$
Thử lại thấy thỏa mãn

[tieulyly1995]

Bài 12 :
Cho hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+16}=(m-2008)y+1\\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+16}=(m-2008)x+1 \end{matrix}\right.$
CMR: hệ PT đã cho có không quá một nghiệm khi $m\geq 2008$

[minh29995]

Bài 12 :
Cho hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+16}=(m-2008)y+1\\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+16}=(m-2008)x+1 \end{matrix}\right.$
CMR: hệ PT đã cho có không quá một nghiệm khi $m\geq 2008$

Cho tham gia với
Đk $x,y\geq -16$
Với $m\geq 2008$
Trừ từng vế hệ đã cho ta được:
$\frac{x-y}{\sqrt{x+19}+\sqrt{y+19}}+\frac{x-y}{\sqrt{x+16}+\sqrt{y+16}}+(m-2008)(x-y)=0$
Tương đương x=y (nhóm lại bên trong dương)
Thay vào PT ta có:
$(m-2008)x+1-\sqrt{x+19}+\sqrt{x+16}=0$
Xét f(x)=VT
$f'(x)= m-2008-\frac{1}{2\sqrt{x+19}}+\frac{1}{2\sqrt{x+16}}> 0$ với mọi x thuộc txd. (Do x+16<x+19, \left (m-2008 \right )\geq 0)
Vì vậy PT đã cho có không quá 1 nghiệm. Vậy hệ đã cho có không quá 1 nghiệm

[L Lawliet]

Từ hệ PT suy ra $x,y,z>0$
Ta có:
$4(x^3-y^3)=(2y+2z+1)(y-z)$ (1)
$4(y^3-z^3)=(2z+2x+1)(z-x)$ (2)
$4(z^3-x^3)=(2x+2y+1)(x-y)$ (3)
Nếu $x>y$ thì từ (1) suy ra $x^3-y^3>0$ hay $y>z$
Khi đó từ (2) lại suy ra $z>x$. Vậy $x>y>z>x$ vô lý
Nếu $x<y$ thì tương tự
Vậy $x=y$. Từ đó suy ra $x=y=z$
Vậy $4x^3=2x^2+x+1$
$\to (x+1)(4x^2+2x+1)=0$
Suy ra $x=y=z=-1$
Thử lại thấy thỏa mãn

Bài này tui giải thế này (cũng là biện luận như ông nhưng giải khác).
Ta có:
$$4x^3=2y^2+y+1$$ (1)
$$4y^3=2z^2+z+1$$ (2)
$$4z^3=2x^2+x+1$$ (3)

• Giả sử $x>y$ thì từ phương trình (1) và (2) ta có:

$$4x^3>4y^3\Leftrightarrow 2y^2+y+1>2z^2+z+1\Leftrightarrow y>z$$
$$y>z\Leftrightarrow 4y^3>4z^3\Leftrightarrow 2z^2+z+1>2x^2+x+1\Leftrightarrow z>x$$
$$\Rightarrow x>y>z>x$$ (điều này không xảy ra)

• Giả sử $x<y$ ta cũng chứng minh tương tự.

Vậy chỉ có thể xảy ra trường hợp $x=y=z$, các bước tiếp theo giải như Việt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-05-2012 - 11:10

[tieulyly1995]

Bài 13 :
Cho đa thức $P_{o}(x)= x^{3}+22x^{2}-6x+15$. Với $n\epsilon Z$ ta có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n)$ .
Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

[tieulyly1995]

Bài 12 :
Cho hệ PT :
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+16}=(m-2008)y+1\\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+16}=(m-2008)x+1 \end{matrix}\right.$
CMR: hệ PT đã cho có không quá một nghiệm khi $m\geq 2008$

Cho tham gia với
Thay vào PT ta có:
$(m-2008)x+1-\sqrt{x+19}+\sqrt{x+16}=0$
Xét f(x)=VT
$f'(x)= m-2008-\frac{1}{2\sqrt{x+19}}+\frac{1}{2\sqrt{x+16}}> 0$ với mọi x thuộc txd. (Do $x+16<x+19, \left (m-2008 \right )\geq 0 )$
Vì vậy PT đã cho có không quá 1 nghiệm. Vậy hệ đã cho có không quá 1 nghiệm

Hoan nghênh bạn !
Một cách THCS khác :

Đặt $a=m-2008$.Do $m\geq 2008$ nên $a\geq0$, ta có :
$HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x+19}-\sqrt{y+6}=ay+1\\ \sqrt{y+19}-\sqrt{x+6}=ax+1 \end{matrix}\right.$
Trừ vế với vế,ta có :
$(\sqrt{x+19}+\sqrt{x+6})- (\sqrt{y+19}+\sqrt{y+6})= a(y-x)$ (*)
Nếu $a=0$, theo cách lập luận trên ta được $x=y$
Nếu $a> 0$, biện luận được $x>y; x<y$ không thỏa mãn (*)
Do đó $x = y$, thay vào một PT của hệ, ta có :
$\sqrt{x+19}-\sqrt{x+6}= ax+ 1$
$\Leftrightarrow \frac{13}{\sqrt{x+19}+\sqrt{x+6}}= ax+1$ (**)

giả sử (**) có hơn một nghiệm, gọi $x_{1 };x_{2}$ là hai nghiệm của (**) và $x_{1 } \neq x_{2}$
không mất tính tổng quát, giả sử $x_{1 } < x_{2}$.Khi đó
$0< \sqrt{x_{1 }+19} +\sqrt{x_{1 }+6} < \sqrt{x_{1 }+19} +\sqrt{x_{2 }+6}$
$\Rightarrow \frac{13}{\sqrt{x_{1 }+19} +\sqrt{x_{1 }+6}} > \frac{13}{\sqrt{x_{1 }+19} +\sqrt{x_{2 }+6} }$
$\Rightarrow ax_{1}+1> ax_{2}+1$
Mà $a\geq 0\Rightarrow a x_{1}+1 \leq a x_{2} +1$ (Mâu thuẫn).
Vậy PT(**) có không quá một nghiệm, suy ra HPT có không quá một nghiệm

[tieulyly1995]

Hăng hái lên mấy em
Bài 14 :
giải HPT :
$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+8y^{2}+12xy=23\\ x^{2}+y^{2}=2 \end{matrix}\right.$

[minh29995]

Mọi người cùng giải nào

Bài 13 :
Cho đa thức $P_{o}(x)= x^{3}+22x^{2}-6x+15$. Với $n\epsilon Z$ ta có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n)$ .
Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

Không biết có đúng ko
Dùng quy nạp ta sẽ chứng minh được:
$P_{n}=P_{0}(x-\frac{n(n+1)}{2})$
Do đó $P_{21}=P_{0}(x-231)$
$=(x-231)^3+22(x-231)^{2}-6(x-231)+15$
$=x^{3}-3x^{2}.231+3x.231^{2}-231^{3}+22x^{2}-2.231.x+231^{2}-6x+6.231+15$
Do đó hệ số của x là: 159615

Hăng hái lên mấy em
Bài 14 :
giải HPT :
$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+8y^{2}+12xy=23\\ x^{2}+y^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Thế pt dưới vào pt trên ta được:
$3x^{2}+8y^{2}+12xy=\frac{23}{2}(x^{2}+y^{2})$
$\Leftrightarrow 17x^{2}+7y^{2}-24xy=0$
Nhận xét y=0 không là nghiệm hệ PT nên đặt $\frac{x}{y}=t$ ta được:
$17t^{2}+7-24t=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=1\\ t=\frac{7}{17} \end{bmatrix}$
đến đây tìm được x theo y thế vào PT dưới tìm đc nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 11-05-2012 - 20:25

[tieulyly1995]

Bài 15 :
Cho hai số hữu tỉ $a,b$ thỏa mãn đẳng thức :
$a^{3}b +ab^{3}+ 2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$
CMR: $1-ab$ là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 16 :
CMR :
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+ \frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}> 4$

Bài 17 :
Tìm PT đường thẳng đi qua điểm $I(0;1)$ và cắt parabol $y=x^{2}$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$ sao cho độ dài đoạn thẳng $MN= 2\sqrt{10}$

[nthoangcute]

Bài 15:

Ta có:
$ab^{3}+a^{3}b+2a^{2}b^{2}+2a+2b+1=0$
$\to ab(a^2+b^2+2ab)+2(a+b)+1=0$
$\to ab(a+b)^2+2(a+b)+1=0$
$\to (1-ab)(a+b)^2-(a+b)^2-2(a+b)-1=0$
$\to (1-ab)(a+b)^2=(a+b+1)^2$
$\to 1-ab=(\frac{a+b}{a+b+1})^2$ là bình phương của một số hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 18-05-2012 - 09:17

[supermath197]

Bài 13 :
Cho đa thức $P_{o}(x)= x^{3}+22x^{2}-6x+15$. Với $n\epsilon Z$ ta có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n)$ .
Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

Bài này dễ nek` :
Có $P_{n}(x)=P_{n-1}(x-n) ->P_{21}(x)=P_{20}(x-21)=P_{19}(x-21-20)=....P_{0}(x-(1+2+3+..+21))=P_{0}(x-231)=(x-231)^{3}+22(x-231)^{2}-6(x-231)+15$
-> HS of x=149913
minh29995 tinh' nhầm chỗ 22.2.231

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermath197: 18-05-2012 - 08:34

[tson1997]

Bài 16 :
CMR :
$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+ \frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}> 4$

Đề Sư Phạm :
Xét A = VT
và B = $ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+......+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$
Rõ ràng ta thấy A > B (vì mỗi số hạng của A đều lớn hơn mỗi số hạng của B)
và : $A+B= \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{81}-\sqrt{80}=\sqrt{81}-1=9-1=8$
nên hiển nhiên $A > 4$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tson1997: 18-05-2012 - 10:44

[tieulyly1995]

Bài 18 :
CMR : không thể có PT bậc hai $ax^{2}+ bx + c =0$ với $ a, b ,c $ là các số nguyên có biệt thức $\Delta =23$.

Bài 19 :
Cho các số thực $a,b,c $ dương thỏa mãn : $abc = \frac{9}{4}$. CMR :
$a ^{3} + b ^{3}+ c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+ b\sqrt{c+a}+ c\sqrt{a+b}$

[NLT]

Bài 18 :
CMR : không thể có PT bậc hai $ax^{2}+ bx + c =0$ với $ a, b ,c $ là các số nguyên có biệt thức $\Delta =23$.

SOLUTION:

Ta có: $\Delta = {b^2} - 4ac = 23$
$ \Rightarrow {b^2} \equiv 23\left( {\bmod 4} \right) \Rightarrow {b^2} \equiv 3\left( {\bmod 4} \right)\left( {False} \right)$ $(Q.E.D)$
--------