Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum {\frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} \leqslant 8$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
$ \frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2b + c + a} \right)}^2}}}{{2{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2c + a + b} \right)}^2}}}{{2{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \leqslant 8 $

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
$ \frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2b + c + a} \right)}^2}}}{{2{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2c + a + b} \right)}^2}}}{{2{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \leqslant 8 $

Hướng chạy.

Chuẩn hóa $a + b + c = 1$, khi đó bất đẳng thức viết thành:
\[\sum {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}}} \leqslant 8 \Leftrightarrow \sum {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{3{a^2} - 2a + 1}}} \leqslant 8} \]
Cái này mọi người chịu không?

#3
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Hướng chạy.

Chuẩn hóa $a + b + c = 1$, khi đó bất đẳng thức viết thành:
\[\sum {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {1 - a} \right)}^2}}} \leqslant 8 \Leftrightarrow \sum {\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{3{a^2} - 2a + 1}}} \leqslant 8} \]
Cái này mọi người chịu không?

Anh Thành ơi, THCS chưa được dùng chuẩn hóa ! :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi princeofmathematics: 09-05-2012 - 22:58

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#4
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Anh Thành ơi, THCS chưa được dùng chuẩn hóa ! :icon6:


Giả sử BĐT đúng với $(a,b,c)=(k,k,k)$ thì BĐT cũng đúng với $(a,b,c)=(tk,tk,tk)$

Khi đó cũng có thể chuẩn hóa được.
Nhưng mà chuẩn hóa kiểu này khó phù hợp với THCS lắm anh Thành ạ
Em nghĩ là đặt $a+b+c=k$ thôi ạ

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#5
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
$ \frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2b + c + a} \right)}^2}}}{{2{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2c + a + b} \right)}^2}}}{{2{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \leqslant 8 $


Chú ý rằng: $$3 - \frac{{(2a + b + c)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} = \frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }}$$
$$\frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} + \frac{{2(c + a - b)^2 }}{{2b^2 + (c + a)^2 }} + \frac{{2(a + b - c)^2 }}{{2c^2 + (a + b)^2 }} \ge 1$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$$\frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} + \frac{{2(c + a - b)^2 }}{{2b^2 + (c + a)^2 }} + \frac{{2(a + b - c)^2 }}{{2c^2 + (a + b)^2 }} \ge \frac{{(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 }}{{a^2 + b^2 + c^2 }}$$
Ta cần chứng minh:$$(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 \ge a^2 + b^2 + c^2$$
BĐT này đúng vì $$(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 - (a^2 + b^2 + c^2 ) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$$

Xong rồi đó Hình đã gửi

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
Đây là bài BĐT trong USAMO 2003, lời giải của anh Kiên cũng chính là đáp án trong kì thì đó ! :icon6:
----------
Bài này thật ra còn 2 cách nữa :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-05-2012 - 11:47

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#7
NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết

Chú ý rằng: $$3 - \frac{{(2a + b + c)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} = \frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }}$$
$$\frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} + \frac{{2(c + a - b)^2 }}{{2b^2 + (c + a)^2 }} + \frac{{2(a + b - c)^2 }}{{2c^2 + (a + b)^2 }} \ge 1$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$$\frac{{2(b + c - a)^2 }}{{2a^2 + (b + c)^2 }} + \frac{{2(c + a - b)^2 }}{{2b^2 + (c + a)^2 }} + \frac{{2(a + b - c)^2 }}{{2c^2 + (a + b)^2 }} \ge \frac{{(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 }}{{a^2 + b^2 + c^2 }}$$
Ta cần chứng minh:$$(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 \ge a^2 + b^2 + c^2$$
BĐT này đúng vì $$(a + b - c)^2 + (b + c - a)^2 + (c + a - b)^2 - (a^2 + b^2 + c^2 ) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$$

Xong rồi đó Hình đã gửi

Em xin giải một cách nữa nhé anh Kiên:
SOLUTION:
Ta chứng minh: ${{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}} \over {2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} \le {{16a + 4b + 4c} \over {3\left( {a + b + c} \right)}}$ (*)
(Chịu khó quy đồng một tí) BĐT trên tương đương:
$ \Leftrightarrow 20{a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} + a{\left( {b + c} \right)^2} \ge 16{a^2}\left( {b + c} \right)$ (**)
Áp dụng AM-GM cho 16 số, trong đó có: 10 số $2{a^3}$, 4 số ${{{{\left( {b + c} \right)}^3}} \over 4}$ và 2 số ${{a{{\left( {b + c} \right)}^2}} \over 2}$ ta suy ra (**) đúng và suy ra bđt (*) đúng, tức là
${{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}} \over {2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} \le {{16a + 4b + 4c} \over {3\left( {a + b + c} \right)}}$
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. :icon6:
----------------------
P/S: Còn cách nào nữa vậy anh Kiên ?
__

=)) có nhưng mà post lên thì đọc cũng không hiểu đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-05-2012 - 12:21

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#8
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
$ \frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2b + c + a} \right)}^2}}}{{2{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2c + a + b} \right)}^2}}}{{2{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \leqslant 8 $


Làm mạnh cho bất đẳng thức này

Xem $\to$ http://diendantoanho...showtopic=63957

---

#9
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Thêm cách nữa
Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khí đó BĐT trở thành
$$\sum \frac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq 8$$

Nhận xét: Với mọi số thực dương $x$ ta luôn có: $$\frac{(3+x)^2}{2x^2+(3-x)^2}\leq 4x+4$$
Thật vậy: $$\frac{(3-x)^2}{2x^2+(3-x)^2}=\frac{x^2-6x+9}{x^2+3-2x}=1+\frac{8x+6}{(x-1)^2+2}\leq 1+\frac{8x+6}{2}=4x+4$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi x=1
Áp dụng cái trên vào này này là xong.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#10
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
$ \frac{{{{\left( {2a + b + c} \right)}^2}}}{{2{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2b + c + a} \right)}^2}}}{{2{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {2c + a + b} \right)}^2}}}{{2{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}} \leqslant 8 $

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}-\frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}=\frac{-(b+c-2a)^2(5a+b+c)}{3(a+b+c)[2a^2+(b+c)^2]}\leqslant 0\Rightarrow\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{4a+b+c}{a+b+c}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leqslant \frac{4}{3}.\frac{6(a+b+c)}{a+b+c}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh