vì p là số nguyên tố nên ta xét 2 trường hợp:
# nếu p=2
ta có $5^{p}+12^{p}=5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$ (là số chính phương) (chọn)
# nếu $p> 2$.
do p là số nguyên tố và 2 là sô nguyên tố duy nhất chia hết cho 2 nên ta được p là số lẻ.
suy ra $5^{p}$ chia hết cho 5 với mọi p (vì 5 chia hết cho 5).
lại có 5 là số lẻ nên $5^{p}$ là số lẻ với mọi p.
suy ra $5^{p}$ có tận cùng là 5.
đặt p=2k+1(k thuộcZ*)
+ xét k lẻ .đặt k=2a+1
suy ra p=4a+3.
suy ra $12^{p}-8$=$12^{4a+3} - 8=12^{4a}.1728-8=8(216.12^{4a}-1)=8\left [ 216(12^{4a}-1)+215 \right ]$
vì $12^{4a}-1$=$20736^{a}-1$
$=20735(20746^{a-1}+20746^{a-2}+...+1)$ chia hết cho 5 (vì 20735 chia hết cho 5)
suy ra $12^{4t}-1$ chia hết cho 5
suy ra $216(12^{4a}-1)+215$ chia hết cho 5
suy ra $12^{p}-8$ chia hết cho 10.(vì (2,5)=1)
suy ra $12^{p}$ tận cùng là 8.
+ xét k chẵn.đặt $k=2b$ (b thuoc Z*).
suy ra $p=4b+1$.
$\Rightarrow 12^{p}-2=12^{4b+1}=12^{4b}.12-2=2(6.12^{4b}-1)=2\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$
vì $12^{4b}-1=20736^{b}-1=20735(20746^{b-1}+20746^{b-2}+...+1)$. chia chia hết cho 5 (vì 20735 chia hết cho 5)
suy ra $\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$ chia hết cho 5.
suy ra $2\left [ 6(12^{4b}-1)+5 \right ]$ chia hết cho 10.
suy ra $12^{p}$ tận cùng là 2
như vậy ta có $5^{p}+12^{p}$ tận cùng là 7 hoac 3.
lại có một số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0;1;4;5;6;9 (dễ chứng minh) nên với p là số lẻ thì $5^{p}+12^{p}$ không là sô chính phương.
tóm lại chỉ với p=2 thì tm dk đề bài.
vậy p=2.
Chưa chứng minh chữ số tận cùng số chính phương là 0;1;4;5;6;9
D-B=6h
E=9+1=10
F=0
S=72
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-05-2012 - 13:33