Đến nội dung


Hình ảnh

Chia đôi diện tích $S_{ABC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 cao_hon_tay

cao_hon_tay

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 08-10-2005 - 11:56

Mình là một thành viên mới của diễn đàn này.Hôm nay góp vui cùng mọi nguời trong mục hình học:

Bài toán: Qua một điểm $M$ ngoài $\Delta ABC$ ,chỉ bằng thước thẳng và compa dựng 1 đường thẳng cắt $\Delta ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 22-09-2012 - 22:51


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-09-2012 - 16:54

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này và chọn bài này làm BÀI TOÁN CỦA THÁNG 11.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 30/11 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 13-11-2012 - 21:01

Xét hệ trục toạ độ Oxy với $O\equiv M$
Các điểm $A(x_A;y_A);B(x_B;y_B);C_(x_C;y_C)$
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y=ax$
Giả sử E và F lần lượt là giao của đường thẳng cần tìm với BC và AC là: E và F
Phương trình đường thẳng BC:
$x(y_C-y_B)+y(x_B-x_C)+x_Cy_B-x_By_C=0$
Vì E là giao của đường thẳng cần tìm với BC nên
$E(\dfrac{x_By_C-x_Cy_B}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)};\dfrac{a(x_By_C-x_Cy_B)}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)})$
Tương tự
$F(\dfrac{x_Ay_C-x_Cy_A}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)};\dfrac{a(x_Ay_C-x_Cy_A)}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)})$

Ta có: $S_{CEF}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{CE.CF}{AB.AC}=\dfrac{1}{2}$ (*)
Ta xét:
$CE.CF=\sqrt{(x_C-\dfrac{x_By_C-x_Cy_B}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)})^2+(y_C-\dfrac{a(x_By_C-x_Cy_B)}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)})^2}.\sqrt{(x_C-\dfrac{x_Ay_C-x_Cy_A}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)})^2+(y_C-\dfrac{a(x_Ay_C-x_Cy_A)}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)})^2}$
$= |\dfrac{(ax_C-y_C)^2}{[y_C-y_B+a(x_B-x_C)].[y_C-y_A+a(x_A-x_C)]}|.(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2$

Như vậy (*) tương đương với:
$|\dfrac{(ax_C-y_C)^2}{[y_C-y_B+a(x_B-x_C)].[y_C-y_A+a(x_A-x_C)]}|=\dfrac{CA.CB}{2BC}$
(Cái này là phương trình là phươnh trình bậc 2 nhá)
Vì A;B;C cố định nên tìm được a
Từ đó dựng được đường thắng cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrunghieu22101997: 16-11-2012 - 19:42

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#4 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 15-11-2012 - 00:27

$E(\dfrac{x_Cy_B-x_By_C}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)};\dfrac{a(x_Cy_B-x_By_C)}{y_C-y_B+a(x_B-x_C)})$
$F(\dfrac{x_Cy_A-x_Ay_C}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)};\dfrac{a(x_Cy_A-x_Ay_C)}{y_C-y_A+a(x_A-x_C)})$
....
Ta có: $S_{CEF}=\dfrac{1}{2}S_{ABC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{CE.CF}{AB.AC}=\dfrac{1}{2}$
Vì A;B;C cố định nên tìm được a

...thế $a$ vào, ta được phương trình bậc mấy nhỉ~~
..và khi có $a$ rồi thì dựng $y=ax$ bằng cách nào <_<

Bài toán: Qua một điểm $M$ ngoài $\Delta ABC$ ,chỉ bằng thước thẳng và compa dựng 1 đường thẳng cắt $\Delta ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau

-Nhận xét:
Hình đã gửi
(Ta sẽ xét $M$ nằm trong góc hoặc góc đối tại đỉnh $A$ làm đậc trưng,và cũng không mất tính tổng quát xét $M$ nằm trong góc $BAD$, với góc đối và các góc còn lại, ta làm tương tự, và rõ ràng với $M$ nằm trên 1 trong 3 đường trung tuyến thì đường thẳng cần tìm chỉ tồn tại duy nhất,là đường trung tuyến đó. :')
-Hiển nhiên với một đường thẳng thỏa đề thì phải cắt $AD$!
-Lấy $E,F$ là các giao điểm của đường thẳng đó với $BC$ và $AC$
-Có: $S_{ACD}=S_{CEF}\Rightarrow S_{ADF}=S_{EDF}\Rightarrow AE//DF$
-Bài toán trở thành dựng đường thẳng qua $M$ cắt $BC,AC$ tại $E,F$ sao cho $AE//DF$
Hình đã gửi
-Xét mô hình bài toán phụ trên :')
-Ta chọn hệ trục vuông góc với gốc tại $O$ (mặt pẳng phức)
Điểm $Z$ bất kì có nhãn là $z$
-Với $BD$ song song $CE$, theo định lý Thales, ta có:
$\frac{\vec{OD}}{\vec{OA}}=\frac{\vec{OB}}{\vec{OC}}=x$
Hay $\frac{d}{a}=\frac{b}{c}=x\in R\Rightarrow \begin{cases}
& \ d=ax \\
& \ c= \frac{b}{x}
\end{cases}$
-Mà $M,C,D$ thẳng hàng,có : $\frac{m-c}{m-d}$ là một số thực
Hay $m(\bar{c}-\bar{d})-\bar{m}(c-d)+c\bar{d}-\bar{c}d=0 \\\Rightarrow m(\frac{\bar{b}}{x}-\bar{a}x)-\bar{m}(\frac{b}{x}-ax)+\bar{a}b-a\bar{b}=0\\\Leftrightarrow x^2(a\bar{m}-\bar{a}m)-x(a\bar{b}-\bar{a}b)-(b\bar{m}-\bar{b}m)=0 \\\Leftrightarrow x^2\frac{i}{2}(a\bar{m}-\bar{a}m)-\frac{i}{2}x(a\bar{b}-\bar{a}b)-\frac{i}{2}(b\bar{m}-\bar{b}m)=0\\\Leftrightarrow x^2{\vec{OA}}\times \vec{OM}-x\vec{OA}\times \vec{OB}-\vec{OB}\times \vec{OM}=0 $
-Quay trở lại bài trên, với $x$ lúc này là $\frac{CF}{CA}$:
$x^2\vec{CA} \times \vec{CM}-x\vec{CA}\times \vec{CD}-\vec{CD}\times \vec{CM}=0 (*)$
Có: $\vec{CA} \times \vec{CM}$ và $\vec{CD}\times \vec{CM}$ cùng dấu,theo định lý Viète, $(*)$ luôn có 2 nghiệm trái dấu.
Nghiệm dương của phương trình: $x=\frac{CDSin(ACB)}{2CMSin(ACM)}+\sqrt{\frac{CD^2Sin^2(ACB)}{4CM^2Sin^2(ACM)}+\frac{CDSin(BCM)}{CASin(ACM)}}$
Hình đã gửi
-Với $CM>CM'>0$,có:
$x<\frac{CDSin(ACB)}{2CM'Sin(ACM)}+\sqrt{\frac{CD^2Sin^2(ACB)}{4CM'^2Sin^2(ACM)}+\frac{CDSin(BCM)}{CASin(ACM)}}=1$
Do đó, bài toán luôn có đúng một nghiệm hình.
Như vậy,ta chỉ cần dựng tỉ lệ $x$ nữa là xong!
-
Một số 'bổ đề' vẽ hình:
+Dựng tỉ lệ mới bằng tỉ lệ cũ nhân/chia với một số tự nhiên (cái này hiển nhiên quá :')
+Dựng tỉ lệ mới bằng tổng/hiệu hai tỉ lệ ban đầu:
Hình đã gửi
-Với tam giác $ABC$ có 3 đường đồng quy như trên, ta luôn có:
$\frac{EA}{EB}+\frac{GA}{GC}=\frac{FA}{FD}$
Để dựng tổng, ta dựng $\frac{EA}{EB},\frac{GA}{GC}$ theo tỉ lệ ban đầu, có tỉ lệ cần tìm là: $\frac{FA}{FD}$
Tương tự,ta cũng có thể dựng hiệu
+Dựng tỉ lệ mới bằng tích hai tỉ lệ ban đầu:
-Cũng với tam giác $ABC$ có 3 đường đồng quy như trên, ta luôn có:
$\frac{DB}{DC}.\frac{GC}{GA}.\frac{EA}{EB}=1$ Hay $\frac{EB}{EA}=\frac{DB}{DC}.\frac{GC}{GA}$
Nên để dựng tích, ta dựng $\frac{DB}{DC},\frac{GC}{GA}$ theo tỉ lệ ban đầu.
+Dựng tỉ lệ mới bằng căn bậc hai của tỉ lệ ban đầu:
Hình đã gửi
-Với tiếp tuyến $CB$ và cát tuyến $CDE$, ta có: $(\frac{BD}{BE})^2=\frac{CD}{CE}$
Nên để dựng tỉ lệ căn bậc hai, ta dựng một đường tròn bất kì, lấy hai điểm $D,E$ bất kì không trùng nhau trên đường tròn, lấy $C$ trên đường thẳng và nằm ngoài đoan $DE$ để có $\frac{CD}{CE}$ theo tỉ lệ ban đầu,dựng tiếp tuyến $CB$ với đường tròn, tỉ lệ $\frac{BD}{BE}$ là tỉ lệ cần tìm :')
Vậy là đủ để dựng $x$ !
Dựng hình:
Hình đã gửi
-Dựng điểm $F$ sao cho $\frac{CF}{CA}=x$, $x$ dựng theo các bổ đề trên.
-Đường thẳng $MF$ chính là đường cần dựng!
Chứng minh:
(Do những gì ta tính ở phần nhận xét đều là quan hệ tương đương nên ta có thể suy ngược lại điều cần chứng minh)
Như chứng minh ở phần nhận xét, bài luôn có đúng một nghiệm hình với mọi M nằm ngoài tam giác $ABC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 16-11-2012 - 23:58

^^~

#5 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 16-11-2012 - 20:29

Xin lỗi vì post bài chậm mất 2 ngày, nhưng em thấy cách của robin997 có quá nhiều kiến thức ngoài hệ THCS, em xin làm lại theo cách sau (hi vọng là đúng)
Em xin sửa lại đầu bài cho tiện chứng minh: Qua một điểm D ngoài Δ ABC, chỉ bằng thước thẳng và compa dựng 1 đường thẳng cắt ΔABC thành 2 phần có diện tích bằng nhau
Không mất tính tổng quát, giả sử $D \in \widehat{ACB}$
-Dựng M là trung điểm BC
-Dựng D' sao cho ΔBD′M đồng dạng ΔBAD (Dựng 2 góc bằng nhau bằng compa) và D' không nằm cùng nửa mặt phẳng chứa A bờ BC
-Kéo dài D'B, lấy điểm V bất kì trên tia D'B
-Dựng U sao cho $\widehat{D'UD} = \widehat{VBA}$ | U không cùng 1 nửa mặt phẳng chứa V bờ DD'
-Dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp ΔDD′U.
-Gọi G là giao điểm BC với (O)
-Nối D với G ta được DG là đường thẳng chia Δ ABC thành 2 phần có S bằng nhau
-----
Hiện tại em đang hơi lười, em sẽ post bài chứng minh + hình minh họa sau


Hình đã gửi
Hình ảo quá

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 16-11-2012 - 21:34

Anh vẽ theo cách của ilovelife thấy không đúng :D Em test lại đi nhé :)
161112.png


@Robin97: Bạn xem lại cách giải của mình nhé. Làm sao để có $CM>CM'$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-11-2012 - 21:39

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 16-11-2012 - 21:36

Như vậy (*) tương đương với:
$|\dfrac{(ax_C-y_C)^2}{[y_C-y_B+a(x_B-x_C)].[y_C-y_A+a(x_A-x_C)]}|=\dfrac{CA.CB}{2BC}$
(Cái này là phương trình là phươnh trình bậc 2 nhá)

..Bài toán chưa chặt thì phải ^_^
-Trước hết, bạn chưa đặt ra giới hạn để điểm $M$ nằm ngoài tam giác $ABC$
-Nếu mà ra phương trình bậc hai thì với mọi $M$ bất kì, kể cả trong, ngoài thì luôn có nhiều nhất hai nghiệm hình.
Xét một trường hợp cụ thể đi, với $M$ là trong tâm tam giác, thì có tới 3 nghiệm hình là 3 đường trung tuyến <_<
~~~~
Nhầm chỗ nào nhỉ~~ :')
~~~~
...bạn chưa biện luận về giao điểm của đường thẳng đó với các cạnh trong tam giác :P

...

...bởi vì mình chỉ xét trường hợp $M$ nằm trọn trong góc $BAD$..các trường hợp còn lại thì tương tự (em có trình bày ở trên mà :')
Khi đó, có $CM>CM'$ ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 16-11-2012 - 22:04

^^~

#8 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 16-11-2012 - 22:02

Mọi người sao lại cứ phải dùng đồ thị nhỉ, đây là bài toán quá dễ, thằng em tui mới học lớp 6 cũng giải được. Không phải cái gì cũng cứ dung toán cao cấp mới giải được( mak tui thấy đồ thị hàm số cũng đâu có gì là cao cấp lắm đâu

Bạn có hiểu đề nói gì không? Đề yêu cầu là "DỰNG ĐƯỜNG THẲNG QUA $M$", còn đường thẳng bạn dựng ra có qua $M$ không?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#9 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-11-2012 - 22:38

HAHA, hai bạn này hiểu nhầm nhau rồi
Ý của bạn Son là một đường thẳng bất kì qua $G$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích như nhau tức là đương thẳng này $GM$ ấy mà nhưng.. cách này cũng sai nốt
Bạn Son đã nói ra điểm mấu chốt trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 16-11-2012 - 22:39


#10 daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi nào có toán...

Đã gửi 17-11-2012 - 08:54

Lần sau đề nghị bạn Bui Nhat Son vẽ hình trước khi nói. :)
asdfasdj;lf.png

#11 Bui Nhat Son

Bui Nhat Son

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 17-11-2012 - 16:45

Theo tôi bài này nên giải như sau. Ta có mọi đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ABC thì đều đy qua trọng tâm. Vậy nên việc lấy trọng tâm rồi noi với M ta sẽ được đường thẳng thỏa mãn

#12 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4464 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 18-11-2012 - 08:04

Mọi đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp chia chu vi tam giác đó thành 2 phần bằng nhau.
Nhưng mọi đường thẳng đi qua trọng tâm chưa chắc đã chia đôi diện tích.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#13 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 618 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-11-2012 - 08:18

Theo tôi bài này nên giải như sau. Ta có mọi đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ABC thì đều đy qua trọng tâm. Vậy nên việc lấy trọng tâm rồi noi với M ta sẽ được đường thẳng thỏa mãn


Để mình lấy ví dụ thế này cho bạn Sơn hiểu và nếu bạn không giải thích được là nó sai thì không nên cứ nói mãi là cách mình đúng nữa. Qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ ta dựng đường thẳng $DE$
song song với $BC$ với $D, E$ lần lượt thuộc $AB, AC$. Theo định lý $Thales$ ta suy ra được:
$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{3}$$
$$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{4}{9}<\frac{1}{2}$$
Do đó, $DE$ không thể chia đôi tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau được
Sách vật lý nào mà có nói cái này thì mai mình chết ngay tức thì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 18-11-2012 - 08:20


#14 Bui Nhat Son

Bui Nhat Son

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 26-01-2013 - 17:46

- bài toán này đã có hướng giải rùi. mọi đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ABC được chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm là tập hợp các tiếp tuyén của một đường tròn đặc biệt

#15 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 03-04-2013 - 15:09

- bài toán này đã có hướng giải rùi. mọi đường thẳng chia đôi diện tích tam giác ABC được chia thành 3 nhóm, mỗi nhóm là tập hợp các tiếp tuyén của một đường tròn đặc biệt

Anh có thể trình bày cách giải được không ạ ?
Sau khi bạn Forgive Yourself like bài mình, đọc lại bài mới thấy một số chỗ chưa ổn lắm/hơi khó hiểu, mình xin trình bày lại lời giải:

Hình vẽ: 

Spoiler

Phân tích: Ta có diện tích tam giác được tính theo công thức $S= \frac 12 h_bb = \frac 1 2 .a.b.\sin\gamma$
Do đó: $S_{ABC} = \frac 12 AB \cdot BC \cdot \sin B$

Giả sử dựng được đường thẳng thỏa mãn đề bài, gọi đường thẳng này cắt $AB, BC$ lần lượt tại $I,G$

Khi ấy: $\frac 12 IG\cdot IB \sin B=S_{IGB}=\frac 12 S_{ABC} \implies 2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$

Bây giờ ta cần tìm điểm $G$ sao cho $2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$, điều này làm ta nghĩ đến các cặp tam giác đồng dạng và một trung điểm nào đó của $BC$ hay $AB$

 

Dựng hình: Giả sử $M$ nằm ở nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$

Về cách dựng 2 góc bằng nhau xin không nhắc lại vì đây là kiến thức khá cơ bản đã có trong SGK

Cách dựng trung trực/trung điểm cũng xin vắn tắt:

midpoint.gif

Cũng xin lược bỏ phần "dưng ... nửa mặt phẳng..." để tránh gây rối, dễ hiểu hơn (nhìn hình vẽ các bạn sẽ dễ nhận thấy là dựng về phía nào ấy mà)

  • Gọi $D$ là trung điểm $BC$
  • Dựng $\widehat{DBx} = \widehat{MBA} (1), \widehat{BDx'} = \widehat{BMA}$, gọi $E \in x \cap x'$
  • Lấy $F$ bất kì trên tia đối của tia $BE$
  • Dựng $\widehat{EMy}=\widehat{BFA}, \widehat{MEy'}=\widehat{FAB}$, gọi $G' \in y \cap y'$
  • Dựng đường tròn ngoại tiếp $\triangle MG'E$: khá cơ bản, dựng đường tròn qua $A$ có tâm $O$ là giao $2$ đường trung trực $AB, AC$
  • Gọi $G \in (O)\cap BC$
  • $MG$ là đường thẳng cần dựng.

 

Chứng minh: ta đi chứng minh $BI \cdot BG = \frac 12 AB \cdot BC$

Thật vậy:

$\angle MG'E = \angle MGE$ (do cùng chắn cung $ME$)

mà $\angle FBA = \angle MG'E$ (cách dựng) $\implies \angle MGE = \angle FBA$

$\iff IBEG$ nội tiếp $\implies \angle BEG = \angle MIB (2)$ (tính chất)

Xét $\triangle BIM \land \triangle BEG$ có $(1),(2) \implies \triangle BIM \sim \triangle BEG\ (g.g)$

$\implies \frac {BM}{BG} = \frac {BI}{BE} \iff BI \cdot BG = BM \cdot BE\ (1')$

Tương tự $\triangle BMA \sim \triangle BDE\ (g.g) \implies BM \cdot BE = BD \cdot BA\ (2')$ 

Kết hợp $(1'),(2') \implies BI \cdot BG = BD \cdot BA = \frac 12 AB \cdot BC \iff S_{IBG} = \frac 12 S_{ABC}$

(điều phải chứng minh)
---------------
To mods: làm ơn xóa hết bài viết của mình ở trên bài này được không ?

Download file hình (file *.zir mở bằng C.A.R): http://d-h.st/lYE


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 03-04-2013 - 21:01

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#16 tranwhy

tranwhy

    Sĩ quan

  • Banned
  • 481 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 16-05-2015 - 00:09

bài toán đơn giản mà giải như vậy thì quá thô bỉ, ko còn phương pháp nào hay hơn ah... 


Visit My FB: https://www.facebook.com/OnlyYou2413                                                                                                                


#17 tranwhy

tranwhy

    Sĩ quan

  • Banned
  • 481 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 23-10-2015 - 15:51

Anh có thể trình bày cách giải được không ạ ?
Sau khi bạn Forgive Yourself like bài mình, đọc lại bài mới thấy một số chỗ chưa ổn lắm/hơi khó hiểu, mình xin trình bày lại lời giải:

Hình vẽ: 

Spoiler

Phân tích: Ta có diện tích tam giác được tính theo công thức $S= \frac 12 h_bb = \frac 1 2 .a.b.\sin\gamma$
Do đó: $S_{ABC} = \frac 12 AB \cdot BC \cdot \sin B$

Giả sử dựng được đường thẳng thỏa mãn đề bài, gọi đường thẳng này cắt $AB, BC$ lần lượt tại $I,G$

Khi ấy: $\frac 12 IG\cdot IB \sin B=S_{IGB}=\frac 12 S_{ABC} \implies 2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$

Bây giờ ta cần tìm điểm $G$ sao cho $2 IB \cdot BG = AB \cdot BC$, điều này làm ta nghĩ đến các cặp tam giác đồng dạng và một trung điểm nào đó của $BC$ hay $AB$

 

Dựng hình: Giả sử $M$ nằm ở nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$

Về cách dựng 2 góc bằng nhau xin không nhắc lại vì đây là kiến thức khá cơ bản đã có trong SGK

Cách dựng trung trực/trung điểm cũng xin vắn tắt:

midpoint.gif

Cũng xin lược bỏ phần "dưng ... nửa mặt phẳng..." để tránh gây rối, dễ hiểu hơn (nhìn hình vẽ các bạn sẽ dễ nhận thấy là dựng về phía nào ấy mà)

  • Gọi $D$ là trung điểm $BC$
  • Dựng $\widehat{DBx} = \widehat{MBA} (1), \widehat{BDx'} = \widehat{BMA}$, gọi $E \in x \cap x'$
  • Lấy $F$ bất kì trên tia đối của tia $BE$
  • Dựng $\widehat{EMy}=\widehat{BFA}, \widehat{MEy'}=\widehat{FAB}$, gọi $G' \in y \cap y'$
  • Dựng đường tròn ngoại tiếp $\triangle MG'E$: khá cơ bản, dựng đường tròn qua $A$ có tâm $O$ là giao $2$ đường trung trực $AB, AC$
  • Gọi $G \in (O)\cap BC$
  • $MG$ là đường thẳng cần dựng.

 

Chứng minh: ta đi chứng minh $BI \cdot BG = \frac 12 AB \cdot BC$

Thật vậy:

$\angle MG'E = \angle MGE$ (do cùng chắn cung $ME$)

mà $\angle FBA = \angle MG'E$ (cách dựng) $\implies \angle MGE = \angle FBA$

$\iff IBEG$ nội tiếp $\implies \angle BEG = \angle MIB (2)$ (tính chất)

Xét $\triangle BIM \land \triangle BEG$ có $(1),(2) \implies \triangle BIM \sim \triangle BEG\ (g.g)$

$\implies \frac {BM}{BG} = \frac {BI}{BE} \iff BI \cdot BG = BM \cdot BE\ (1')$

Tương tự $\triangle BMA \sim \triangle BDE\ (g.g) \implies BM \cdot BE = BD \cdot BA\ (2')$ 

Kết hợp $(1'),(2') \implies BI \cdot BG = BD \cdot BA = \frac 12 AB \cdot BC \iff S_{IBG} = \frac 12 S_{ABC}$

(điều phải chứng minh)
---------------
To mods: làm ơn xóa hết bài viết của mình ở trên bài này được không ?

Download file hình (file *.zir mở bằng C.A.R): http://d-h.st/lYE

cách giải này đúng chưa bạn?


Visit My FB: https://www.facebook.com/OnlyYou2413                                                                                                                





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh