Chủ đề này có 2 trả lời

[phuonganh_lms]

Cho $\dfrac{a}{m+2}+\dfrac{b}{m+1}+\dfrac{c}{m}=0$ ($m>0$).
CMR phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm $x_0 \in (0;1)$

[Crystal]

Cho $\dfrac{a}{m+2}+\dfrac{b}{m+1}+\dfrac{c}{m}=0$ ($m>0$).
CMR phương trình $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm $x_0 \in (0;1)$

Hướng chạy:

Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số:
\[F\left( x \right) = \frac{a}{{m + 2}}{x^{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}}{x^{m + 1}} + \frac{c}{m}{x^m}\]
...

Tiếp tục nhé

[Crystal]

Chán! Xem robocon mà bị cà giật, qua làm toán vậy

Ngoài cách trên ta hoàn toàn có thể sử dụng tích phân để chứng minh phương trình trên có nghiệm.

Xét hàm số: $F\left( x \right) = a{x^{m + 1}} + b{x^m} + c{x^{m - 1}}$, ta có:
\[I = \int\limits_0^1 {F\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {\left( {a{x^{m + 1}} + b{x^m} + c{x^{m - 1}}} \right)} dx = \left. {\frac{a}{{m + 2}}{x^{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}}{x^{m + 1}} + \frac{c}{m}{x^m}} \right|_0^1\]
\[ = \frac{a}{{m + 2}} + \frac{b}{{m + 1}} + \frac{c}{m} = 0\]
Suy ra tồn tại ${x_0} \in \left( {0;1} \right)$ để $F\left( x \right) = 0$

Hay tồn tại ${x_0} \in \left( {0;1} \right)$ để $a{x^{m + 1}} + b{x^m} + c{x^{m - 1}} = 0 \Leftrightarrow {x^{m - 1}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) = 0 \Leftrightarrow a{x^2} + bx + c = 0$

Từ đó suy ra đpcm.

---