2 replies to this topic

[Crystal]

Đề thi thử đại học lần 3 THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa

Link Download

Nguồn: boxmath

Edited by xusinst, 14-05-2012 - 01:39.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}4x^2y^2 - 6xy - 3y^2 + 9 = 0 \,\,\, (1)\\6x^2y - y^2 - 9x = 0 \,\,\, (2)\end{array}\right. \,\,\,\, (I)$

Giải

* Với x = 0, hệ (I) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}- 3y^2 + 9 = 0\\y^2 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}y = \pm \sqrt{3}\\y = 0\end{array}\right.$
Hệ trên vô nghiệm. Do đó, hệ ban đầu vô nghiệm.

* Với $x \neq 0$
Từ (2), suy ra:

$6xy - 9 = \dfrac{y^2}{x}$

Thế vào (1), ta được phương trình hệ quả:
$4x^2y^2 - 3y^2 - \dfrac{y^2}{x} = 0$

$\Leftrightarrow y^2.(4x^2 - 3 - \dfrac{1}{x}) = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y = 0 \,\,\,\, (1')\\4x^2 - 3 - \dfrac{1}{x} = 0 \,\,\,\, (2')\end{array}\right.$

* Với y = 0, phương trình (1) của hệ ban đầu tương đương: $9 = 0$ (vô lý).
Do vậy, y = 0 không phải nghiệm của hệ ban đầu.
* Ta có:
$(2') \Leftrightarrow 4x^3 - 3x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(2x + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1\\x = \dfrac{-1}{2}\end{array}\right.$
- Với x = 1, hệ (I) tương đuơng:
$\left\{\begin{array}{l}4y^2 - 6y - 3y^2 + 9 = 0\\6y - y^2 - 9 = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow y = 3$

- Với $x = \dfrac{- 1}{2}$, hệ (I) tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}y^2 + 3y - 3y^2 + 9 = 0\\\dfrac{3}{2}y - y^2 + \dfrac{9}{2} = 0\end{array}\right. \Leftrightarrow 2y^2 - 3y - 9 = 0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}y = 3\\y = \dfrac{-3}{2}\end{array}\right.$

Vậy hệ ban đầu có tập nghiệm:
$T = \{(1; 3); (\dfrac{-1}{2}; 3); (\dfrac{-1}{2}; \dfrac{-3}{2})\}$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

4. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. CMR:
$$(\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1)(\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1)(\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1) \geq 3(a + b + c)^2 \,\,\, (1)$$

Giải

Ta thấy:
$\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1 = 4.\dfrac{1}{a^2 + b^2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} $

$\geq \dfrac{36}{4(a^2 + b^2) + 2 + 2} = \dfrac{9}{a^2 + b^2 + 1}$

Chứng minh tương tự, ta có:
$\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1 \geq \dfrac{9}{b^2 + c^2 + 1}$

$\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1 \geq \dfrac{9}{a^2 + c^2 + 1}$

Do dó:
$(\dfrac{4}{a^2 + b^2} + 1)(\dfrac{4}{b^2 + c^2} + 1)(\dfrac{4}{c^2 + a^2} + 1) \geq \dfrac{9^3}{(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + c^2 + 1)(b^2 + c^2 + 1)}$

Mặt khác:
$(a^2 + b^2 + 1)(a^2 + c^2 + 1)(b^2 + c^2 + 1) \leq \dfrac{[2(a^2 + b^2 + c^2) + 3]^3}{27} = 27$

Suy ra
$VT_{(1)} \geq \dfrac{729}{27} = 27 \,\,\,\, (2)$

Hơn nữa, ta lại có:
$VF_{(1)} = 3(a + b + c)^2 \leq 3.3(a^2 + b^2 + c^2) = 27 \,\,\,\, (3)$

Từ (2) và (3), ta có điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c = 1$