Chủ đề này có 1 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Giải phương trình: \[{9^{ - \left| {x - \frac{1}{2}} \right| + \frac{1}{8}}}{\log _2}\left( {{x^2} - x + 2} \right) - {3^{ - {x^2} + x}}{\log _2}\left( {2\left| {x - \frac{1}{2}} \right| + \frac{7}{4}} \right) = 0\]

----
Trình bày lời giải đến cùng nhé.

[studentized]

Xét hàm số $f(x)=3^x\log_2\left(x+\frac 7 4\right)$. Ta trước hết chứng minh hàm số đó đồng biến trên nửa khoảng $[0;\infty)$. Với $0\leq x_1<x_2$, ta có:
$$
\begin{aligned}
&\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{equation*}
\begin{split}
&0<3^{x_1}<3^{x_2}\\
&0<\log_2\left(\frac 7 4\right)\leq\log_2\left(x_1+\frac 7 4\right)<\log_2\left(x_2+\frac 7 4\right)
\end{split}
\end{empheq}\\
\implies&3^{x_1}\log_2\left(x_1+\frac 7 4\right)<3^{x_2}\log_2\left(x_2+\frac 7 4\right)\\
\implies&f(x_1)<f(x_2)\\
\end{aligned}
$$
Từ đó, ta dễ dàng thấy hàm số $f(x)$ đơn ánh trên nửa khoảng $[0;\infty)$. Mặt khác, với phương trình ban đầu thì ta có:
$$
\begin{align*}
&9^{-\left|x-\frac 1 2\right|+\frac 1 8}\log_2(x^2-x+2)-3^{-x^2+x}\log_2\left(2\left|x-\frac 1 2\right|+\frac 7 4\right)=0\\
\iff&3^{-2\left|x-\frac 1 2\right|+\frac 1 4}\log_2\left(\left(x-\frac 1 2\right)^2+\frac 7 4\right)=3^{-\left(x-\frac 1 2\right)^2+\frac 1 4}\log_2\left(2\left|x-\frac 1 2\right|+\frac 7 4\right)\\
\iff&3^{\left(x-\frac 1 2\right)^2}\log_2\left(\left(x-\frac 1 2\right)^2+\frac 7 4\right)=3^{2\left|x-\frac 1 2\right|}\log_2\left(2\left|x-\frac 1 2\right|+\frac 7 4\right)\\
\iff&f\left(\left(x-\frac 1 2\right)^2\right)=f\left(2\left|x-\frac 1 2\right|\right)\iff\left(x-\frac 1 2\right)^2=2\left|x-\frac 1 2\right|\\
\iff&\left(x-\frac 1 2\right)^2-2\left|x-\frac 1 2\right|=0\iff\left|x-\frac 1 2\right|\left(\left|x-\frac 1 2\right|-2\right)=0\\
\iff&x-\frac 1 2\in\{-2,0,2\}\iff x\in\left\{-\frac 3 2;\frac 1 2;\frac 5 2\right\}
\end{align*}
$$
Vậy phương trình có tập hợp ba nghiệm $S=\left\{-\frac 3 2;\frac 1 2;\frac 5 2\right\}$.