SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2110-2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
*********************************************
Bài 1: a) Giải phương trình: $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(1+\sqrt{x^2+3x})=3$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\left ( x-y\right )^2 &\\x^2-xy+y^2=6\left ( x-y\right )& & \end{matrix}\right.$
Bài 2: a) Các số a, b, c, không âm thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a+b=1-ab & & & \\ b+c=3-bc& & & \\ c+a=7-ca& & & \end{matrix}\right.$
Tính $S=a^{2009}+b^{2010}+c^{2011}$
b) Chứng minh phương trình: $(x+2)\sqrt{x+1}=2x+1$ vô nghiệm.
Bài 3: a) Tìm các hệ số a, b,sao cho đa thức $x^4+2x^3+3x^2+ax+b$ là bình phương của một đa thức khác.
b) Các số dương x, y thỏa mãn điều kiện: $x+\frac{1}{y}\leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$.
Bài 4: Tam giác ABC không cân, có M là trung điểm của BC. Vẽ đương cao AD của tam giác. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường kính đi qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác EFD.
Bài 5: Cho các số $a, b, c \in \left [ 1; 2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\leq 7$$________________Hết___________________
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2010 - 2011
#1
Đã gửi 15-05-2012 - 00:41
- L Lawliet, Poseidont, ducthinh26032011 và 4 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 15-05-2012 - 00:45
Bài 4: Tam giác ABC không cân, có M là trung điểm của BC. Vẽ đương cao AD của tam giác. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường kính đi qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh M là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác EFD.
Câu 4: Hình các bạn tự vẽ nhé.
Lấy N là trung điểm AB.
C/m đk HE vuông góc vs AC---> MN vuông góc vs HE (1)
Mặt khác do tam giác AHB vuông tại H và tam giác AEB vuông tại E nên có NH = NA=NB=NE (2)
Từ (1) và (2) ---> MN là đường trung trực của HE.
CMTT ----> M là tâm đg` tron ngoại tiếp tam giác HEF.
Mik làm vậy, ko bjk có đúng ko nữa
- Poseidont và yeukhoahoc94 thích
#3
Đã gửi 15-05-2012 - 00:55
http://diendantoanho...l=&fromsearch=1
bất đẳng thức tương đương với:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
không mất tính tổng quát ta giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
ta có $\left ( 1-\frac{a}{b} \right )(1-\frac{b}{c})\geq 0$ và $(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$
$\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
xét $(2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leq 0$ vì $\frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
nên a/c + c/a $\leq \frac{5}{2}$
suy ra dpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 21-05-2012 - 10:15
- baby xuyenchi yêu thích
Giữ tâm tri ko phiền muộn
Sống đơn giản,
Cho đi nhiều hơn
Mong nhận lại ít hơn..!!!
#4
Đã gửi 21-05-2012 - 10:11
a) ĐKXĐ: $x\geq 0$
Với điều kiện trên ta có:
$\sqrt{x+3}\geq \sqrt{3}$
$\sqrt{x}\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{x}\geq 3\neq 0$
Nhân 2 vế của phương trình với $\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\neq 0$ ta được:
$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}+\sqrt{x})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(1+\sqrt{x^2+3x})=3(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}$
Với điều kiện ở đầu bài thì 2 vế của phương trình không âm nên ta bình phương 2 vế của phương trình lên ta được:
$1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\Rightarrow 1+2\sqrt{x^2+3x}+x^2+3x=x+3+2\sqrt{x^2+3x}+x$
$\Leftrightarrow x^2+x-2=0$ (*)
Phương trình (*) có: $a+b+c=1+1+(-2)=0$ nên phương trình có 2 nghiệm:
$x_{1}=1(TM),x_{2}=-2(KTM)$
Thử lại ta thấy giá trị $x=1$ đúng.
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$
b) Biến đổi:
- Phương trìn đầu của hệ tương đương:
$2(x-y)^2-xy=0$
$\Leftrightarrow 2(x-y)^2=xy$
- Phương trình thứ 2 của hệ tương đương:
$(x-y)^2-6(x-y)+xy=0$ (*)
Thay $xy=2(x-y)^2$ vào (*) ta được phương trình:
$(*)\Leftrightarrow (x-y)^2-6(x-y)+2(x-y)^2=0\Leftrightarrow (x-y)^2-2(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x-y-2)=0$
Đến đây đơn giản rồi nhỉ
- Poseidont, chuot nhoc, ckuoj1 và 1 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#5
Đã gửi 21-05-2012 - 16:07
a) Hệ đã cho tương đương:Bài 2: a) Các số a, b, c, không âm thỏa mãn điều kiện: $\left\{\begin{matrix} a+b=1-ab & & & \\ b+c=3-bc& & & \\ c+a=7-ca& & & \end{matrix}\right.$
Tính $S=a^{2009}+b^{2010}+c^{2011}$
b) Chứng minh phương trình: $(x+2)\sqrt{x+1}=2x+1$ vô nghiệm.
$$\left\{\begin{matrix}(a+1)(b+1)=2\ \ \ (1)\\ (b+1)(c+1)=4\ \ \ (2)\\ (c+1)(a+1)=8\ \ \ (3)\end{matrix}\right.$$
Nhân vế với vế của $(1),(2),(3)$ ta có:
$[(a+1)(b+1)(c+1)]^2=64\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)=8(*)$(Do$ a,b,c\ge 0\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\ge 1)$)
Chia $(*)$ lần lượt cho $(1),(2),(3)$ có:
$$\left\{\begin{matrix}a+1=2\\b+1=1\\ c+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\b=0\\ c=3\end{matrix}\right.\Rightarrow S=...$$
=>L: Thanks chú, không đọc kĩ đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 21-05-2012 - 19:41
- perfectstrong và NTHMyDream thích
#6
Đã gửi 21-05-2012 - 19:20
Đặt $\sqrt{x+1}=t\geq 0$
$\Leftrightarrow x=t^2-1$
Pt trở thành:
$(t^2+1)t=2(t^2-1)+1\Leftrightarrow t^3-2t^2+t+1=0\Leftrightarrow t(t-1)^2+1=0$
Mà $t(t-1)^2+1> 0$ (do $t\geq 0$ và $(t-1)^2\geq 0$)
Do đó phương trình vô nghiệm.
Bài 3b
-Áp dụng bất đẳng thức Co-si ta có: $2\sqrt\frac{x}{y}\leq x+\frac{1}{y}\leq 1$
-Do đó: $\frac{x}{y}\leq \frac{1}{4}$
-Đặt $a=\frac{x}{y}\Rightarrow S=a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{16a}+\frac{15}{16a}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{16a}}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=4.25$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 21-05-2012 - 19:29
- NTHMyDream yêu thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
#7
Đã gửi 21-05-2012 - 19:36
Xem kĩ lại nhé Tú a, b, c là các số không âm mà chỉ cần xét 1 trường hợp thôia) Hệ đã cho tương đương:
$$\left\{\begin{matrix}(a+1)(b+1)=2\ \ \ (1)\\ (b+1)(c+1)=4\ \ \ (2)\\ (c+1)(a+1)=8\ \ \ (3)\end{matrix}\right.$$
Nhân vế với vế của $(1),(2),(3)$ ta có:
$$[(a+1)(b+1)(c+1)]^2=64\Leftrightarrow |(a+1)(b+1)(c+1)|=8$$
*TH 1: Với $(a+1)(b+1)(c+1)=8(*)$, chia $(*)$ lần lượt cho $(1),(2),(3)$ có:
$$\left\{\begin{matrix}a+1=2\\b+1=1\\ c+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=1\\b=0\\ c=3\end{matrix}\right.\Rightarrow S=...$$
*TH 2: Với $(a+1)(b+1)(c+1)=-8(**)$, chia $(**)$ lần lượt cho $(1),(2),(3)$ có:
$$\left\{\begin{matrix}a+1=-2\\b+1=-1\\ c+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=-3\\b=-2\\ c=-5\end{matrix}\right.\Rightarrow S=...$$
- minhtuyb yêu thích
Thích ngủ.
#8
Đã gửi 21-05-2012 - 22:32
Bài 1b cần tính cụ thể x,y mà bạn???????Xin phép chém bài 1 trước
a) ĐKXĐ: $x\geq 0$
Với điều kiện trên ta có:
$\sqrt{x+3}\geq \sqrt{3}$
$\sqrt{x}\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt{x}\geq 3\neq 0$
Nhân 2 vế của phương trình với $\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\neq 0$ ta được:
$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}+\sqrt{x})(\sqrt{x+3}-\sqrt{x})(1+\sqrt{x^2+3x})=3(\sqrt{x+3}+\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow 1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}$
Với điều kiện ở đầu bài thì 2 vế của phương trình không âm nên ta bình phương 2 vế của phương trình lên ta được:
$1+\sqrt{x^2+3x}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x}\Rightarrow 1+2\sqrt{x^2+3x}+x^2+3x=x+3+2\sqrt{x^2+3x}+x$
$\Leftrightarrow x^2+x-2=0$ (*)
Phương trình (*) có: $a+b+c=1+1+(-2)=0$ nên phương trình có 2 nghiệm:
$x_{1}=1™,x_{2}=-2(KTM)$
Thử lại ta thấy giá trị $x=1$ đúng.
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1$
b) Biến đổi:
- Phương trìn đầu của hệ tương đương:
$2(x-y)^2-xy=0$
$\Leftrightarrow 2(x-y)^2=xy$
- Phương trình thứ 2 của hệ tương đương:
$(x-y)^2-6(x-y)+xy=0$ (*)
Thay $xy=2(x-y)^2$ vào (*) ta được phương trình:
$(*)\Leftrightarrow (x-y)^2-6(x-y)+2(x-y)^2=0\Leftrightarrow (x-y)^2-2(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x-y-2)=0$
Đến đây đơn giản rồi nhỉ
Cách khác bài 1b là: Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} \left ( \x-yright )^2+3xy=7\left ( \x-yright )^2 & & \\ \left ( x-y\right )^2+xy=6\left ( x-y\right ) & & \end{matrix}\right.$
Đặt: (x-y)=a và xy=b ---->> Ta lập được hệ phương trình mới và giải ra ta được: TH1: a=b=0; TH2: a=3/4 và b=9/8
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 21-05-2012 - 22:43
- ckuoj1 yêu thích
Giữ tâm tri ko phiền muộn
Sống đơn giản,
Cho đi nhiều hơn
Mong nhận lại ít hơn..!!!
#9
Đã gửi 21-05-2012 - 22:44
Từ phương trình tớ đã biến đổi, ta được $x=y$ hoặc $x=2+y$ rồi thay vào là ra mà bạnBài 1b cần tính cụ thể x,y mà bạn???????
Cách khác bài 1b là: Hệ phương trình tương đương với:
$\left\{\begin{matrix} \left ( \x-yright )^2+3xy=7\left ( \x-yright )^2 & & \\ \left ( x-y\right )^2+xy=6\left ( x-y\right ) & & \end{matrix}\right.$
Đặt: (x-y)=a và xy=b ---->> Ta lập được hệ phương trình mới và giải ra ta được: TH1: a=b=0; TH2: a=3/4 và b=9/8
Thích ngủ.
#10
Đã gửi 22-05-2012 - 11:28
bài 3 : vì x, y dương nên áp dụng BDT Cauchy có 1 $\geq$x + $\frac{1}{y}$ $\geq 2\sqrt{\frac{x}{y}}$[/center]
$\Rightarrow$ $\frac{x}{y} \leq \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{y}{x} \geq 4$
Ta có S = $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = (\frac{x}{y} +\frac{y}{16x} ) +\frac{15y}{16x} \geq 2\sqrt{\frac{xy}{16xy}} + \frac{15y}{16x}$ $\geq \frac{1}{2} + \frac{15}{16 } .4 = \frac{17}{4}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2} ; y=2$
- ducthinh26032011 và chuot nhoc thích
#11
Đã gửi 06-06-2012 - 00:48
ta có : (a+b+c)($\frac{1}{a} +{\frac{1}{b}}{} + \frac{1}{c}$) $\frac{1}{a} +{\frac{1}{b}}{} + \frac{1}{c}\leq$ 10
$\leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( a+c \right ) + b\left ( 2a-c \right \left ( 2c-a \right ) \geq 0$ (luôn đúng)
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh