Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

[Hỏi về số e] \[{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x} = e}\]


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 dangxuanthong

dangxuanthong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 15-05-2012 - 17:21

Trong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$

nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.

#2 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 15-05-2012 - 17:50

Trong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$

nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.

x tiến đến dương vô cùng :)

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 15-05-2012 - 18:05

Trong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$

nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.


TRẢ LỜI: Định nghĩa trên đúng cho cả khi $x \to + \infty $ hay $x \to - \infty $

CHỨNG MINH:

Ta có giới hạn sau: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n} = e}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1: $x > 0$ và $x \to + \infty $.

Với mọi $x>0$ ta có: \[n \leqslant x < n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{n} \Rightarrow 1 + \frac{1}{{n + 1}} < 1 + \frac{1}{x} \leqslant 1 + \frac{1}{n}\]
\[ \Rightarrow {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \leqslant {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}}\]
Theo $\left( * \right)$, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = e\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 + \frac{1}{{n + 1}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}} = e\]
Theo nguyên lí kẹp, suy ra: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Trường hợp 2: $x < 0$ và $x \to - \infty $.

Đổi biến $t = - \left( {x + 1} \right) \Rightarrow t \to + \infty $ khi $x \to - \infty $.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 - \frac{1}{{t + 1}}} \right)^{ - \left( {t + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {\frac{t}{{t + 1}}} \right)^{ - \left( {t + 1} \right)}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {\frac{{t + 1}}{t}} \right)^{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t}\left( {1 + \frac{1}{t}} \right) = e\]
Suy ra: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\]

Nói thêm: Nếu đặt $\frac{1}{x} = \alpha $ thì $\alpha \to 0$ khi $x \to \infty $.

Khi đó: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} {{\left( {1 + \alpha } \right)}^{\dfrac{1}{\alpha }}} = e}\]




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh