Trong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$
nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.
[Hỏi về số e] \[{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^x} = e}\]
Bắt đầu bởi dangxuanthong, 15-05-2012 - 17:21
#1
Đã gửi 15-05-2012 - 17:21
#2
Đã gửi 15-05-2012 - 17:50
x tiến đến dương vô cùngTrong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$
nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.
#3
Đã gửi 15-05-2012 - 18:05
Trong định nghĩa số e em thấy ghi là
$e=\lim_{x \to \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}$
nhưng không chắc x tiến tới âm hay dương vô cùng, hay cả hai đều được. Xin các anh chị giúp đỡ.
TRẢ LỜI: Định nghĩa trên đúng cho cả khi $x \to + \infty $ hay $x \to - \infty $
CHỨNG MINH:
Ta có giới hạn sau: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n} = e}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\]
Trường hợp 1: $x > 0$ và $x \to + \infty $.
Với mọi $x>0$ ta có: \[n \leqslant x < n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{x} \leqslant \frac{1}{n} \Rightarrow 1 + \frac{1}{{n + 1}} < 1 + \frac{1}{x} \leqslant 1 + \frac{1}{n}\]
\[ \Rightarrow {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^n} < {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \leqslant {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}}\]
Theo $\left( * \right)$, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = e\]
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 + \frac{1}{{n + 1}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}} = e\]
Theo nguyên lí kẹp, suy ra: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Trường hợp 2: $x < 0$ và $x \to - \infty $.
Đổi biến $t = - \left( {x + 1} \right) \Rightarrow t \to + \infty $ khi $x \to - \infty $.
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 - \frac{1}{{t + 1}}} \right)^{ - \left( {t + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {\frac{t}{{t + 1}}} \right)^{ - \left( {t + 1} \right)}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {\frac{{t + 1}}{t}} \right)^{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^{t + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t}\left( {1 + \frac{1}{t}} \right) = e\]
Suy ra: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\]
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}^x} = e}\]
Nói thêm: Nếu đặt $\frac{1}{x} = \alpha $ thì $\alpha \to 0$ khi $x \to \infty $.
Khi đó: \[\boxed{\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} {{\left( {1 + \alpha } \right)}^{\dfrac{1}{\alpha }}} = e}\]
- tangkhaihanh, CD13, dark templar và 6 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh