Đề của nthoangcute:
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ nhọn có phân giác $AD$ ($D$ thuộc đoạn thẳng $BC$). Trên đoạn thẳng $AD$ lấy hai điểm $E, F$ sao cho $\widehat{ABE}=\widehat{CBF}$. Chứng minh rằng $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$
P/s: Bài này cũng dễ, mọi người chém tích cực vào, nhưng đừng để Giám khảo "đau đầu".
Chứng minh :
ta có bài toán sau phụ sau
Cho tam giác ABC , phân giác góc BAC cắt BC tại D . Trên BC lấy 2 điểm M và N ( M ko trùng N)
Lúc này ta có điều sau :
$ \widehat{MAD} = \widehat{NAD} \Leftrightarrow \frac{BM.BN}{CM.CN} = \frac{AB^2}{AC^2}$
Thật vậy :
Xét TH thuận
Khi mà $\widehat{MAD} = \widehat{NAD}$
Tiếp theo đây có 2 cách để cm , xin được nêu pp lớp 8 (lớp 9 dùng sin , cos phải cm thêm 1 đoạn nên nhác)
Từ M kẻ hình chiếu MH và MK xuống AB ; AC
Từ N , kẻ hình chiếu NP và NQ xuống AB ; AC
Lúc này ta có
$\Delta{AMH} = \Delta{ANQ}$ (g.g)
Vì $\widehat{AHM} = \widehat{AQN} = 90^0$
$\widehat{BAD} - \widehat{MAD} = \widehat{CAD} - \widehat{NAD} \Leftrightarrow \widehat{HAM} = \widehat{NAQ}$
$\Rightarrow \frac{HM}{NQ} = \frac{AM}{AN}$
Ta lại có
$\frac{S_{ABM}}{S_{ANC}} = \frac{BM}{NC} = \frac{HM.AB}{NQ.AC} = \frac{AM.AB}{AN.AC}$ (*)
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên , ta cũng có
$\frac{S_{ABN}}{S_{ACM}} = \frac{BN}{MC} = \frac{NP.AB}{MK.AC} = \frac{AN.AB}{AM.AC}$ (*)(*)
Nhân vế vs vế của (*) và (*)(*)
ta sẽ suy ra được
$\frac{BN.BM}{CN.CM} = \frac{AB^2}{AC^2}$ (đpcm)
bây giờ , chúng ta sẽ chứng minh phần đảo
$ \frac{BM.BN}{CM.CN} = \frac{AB^2}{AC^2} \Rightarrow \widehat{MAD} = \widehat{NAD} $
Thực ra phần đảo ko quá khó để cm , ta gọi 1 điểm M' thõa mãn $\widehat{MAD} = \widehat{NAD}$ , giờ cần cm ko tồn tại M' khác M t/m điều trên
Lúc này thì theo phần thuận , ta sẽ có
$\frac{BM'.BN}{CM'.CN} = \frac{AB^2}{AC^2}$ (1)
Mà theo gt , ta lại có $\frac{BM.BN}{CM.CN} = \frac{AB^2}{AC^2}$ (2)
Từ (1) và (2) , ta có $\frac{BM'.BN}{CM'.CN} = \frac{BM.BN}{CM.CN}$
Suy ra $\frac{BM'}{CM'} = \frac{BM}{CM} \Leftrightarrow \frac{BM'}{BM' + CM'} = \frac{BM}{BM + CM} \Leftrightarrow \frac{BM'}{BC} = \frac{BM}{BC} \Leftrightarrow BM' = BM$ mà M' và M cùng thuộc đoạn BC nên bắt buộc M và M' phải trùng nhau (vô lí vì ta đã giải sử M' khác M)
Vậy tồn tại duy nhất 1 điểm M thõa mãn định lí thuận và đảo trên
Quay trở lại bài toán , ta chỉ cần áp dụng và tam giác ABD và tam giác ADC
Kẻ phân giác BI của góc ABC (I thuộc AD)
Khi đó theo bài toán trên , ta có :
$\frac{AB^2}{BD^2} = \frac{AE.AF}{DE.DF}$ (*3)
mà theo t/c phân giác , do AD là p/giác góc BAC nên
$\frac{AB^2}{BD^2} = \frac{AC^2}{DC^2}$ (*4)
Từ (*3) và (*4) ta có :
$\frac{AE.AF}{DE.DF} = \frac{AC^2}{DC^2}$
Đây chẳng phải là bài toán đảo ở trên hay sao
Lúc này , CI sẽ là phân giác góc ACD và góc ECF
tức góc ACI = góc ICD
góc IEC = góc ICF
Trừ 2 vế ta có góc ACE = góc DCF (đpcm)
p/s : Bài toán trên cũng giúp ta cm được t/c đồng quy của 3 tia phân giác
Không có hình vẽ. Các mở rộng em nêu chỉ là mở rộng của bổ đề. Không ăn nhập với bài toán đề cho.D-B=14.3hE=5F=0S=48.7
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-05-2012 - 21:05