Đến nội dung


Hình ảnh

$(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 19-05-2012 - 11:49

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2014 - 14:36

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng        @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng        @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 23/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng        @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Quốc Học Huế
  • Sở thích:Xem sách

Đã gửi 06-06-2014 - 20:40

xét x=0 thì y=0 hoặc y=1

xét y=0 thì x=0 hoặc x=-1

xét x và y đều khác 0

đăt d=(x;y)$\Rightarrow$ x=dxvà y=dyvới (x1,y1)=1

Lúc đó biểu thức đã cho tương đương với:

$(d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1)(d^{2}x1^{2}+dx1-dy1)=(d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1)(d^{2}y1^{2}+dx1-dy1)$

Đặt k=($d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1,d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$)

suy ra k/$d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1+d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$

hay $k/d^{3}(x1^{3}+y1^{3})$

suy ra k/d hoặc k/$x1^{3}+y1^{3}$

TH1:Nếu k/d thì

$k/d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1$

$\rightarrow k=1$

$\Rightarrow d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1=d^{2}y1^{2}+dx1-dy1$

suy ra d=1 từ đó ta có hệ 2 pt:

      $y^{3}+xy-1=y^{2}+x-y$ (1)

      $x^{3}-xy+1=y^{2}+x-y$  (2)

suy ra x=y=1

Th2:tương tự.

Vậy S={(0;0);(-1;0);(0;1);(1;1)}



#4 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 08-06-2014 - 10:26

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

Iran TST 2012 - Third exam - 1st day - Problem 3


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#5 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 05-12-2014 - 19:11

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

$\blacksquare$ với $x=y$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |\leq 1$ hoặc $\left | y \right |\leq 1$ thì ta có $x,y\in \left \{ -1,0,1 \right \}$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

$\triangleright$ Với $x>y$ từ giả thiết ta có $\frac{x^3-xy+1}{x^2+x-y}=\frac{y^3+xy-1}{y^2+x-y}\Leftrightarrow x-y=\frac{x^2-1}{x^2+x-y}+\frac{y^2-1}{y^2+x-y}$

đặt $z=x-y>0\Rightarrow z=\frac{x^2-1}{x^2+z}+\frac{y^2-1}{y^2+z}$

ta có $0<\frac{x^2-1}{x^2+z},\frac{y^2-1}{y^2+z}<1\Rightarrow 0$ do đó $1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}$

vì $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2+1},\frac{y^2-1}{y^2+1}<\frac{1}{2}\Rightarrow 1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}<1$

điều này vô lí

$\triangleright$ Với $x<y$ đặt $t=y-x>0\Rightarrow t=\frac{x^2-1}{t-x^2}+\frac{y^2-1}{t-y^2}\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t-y^2}$

nếu $x^2<t$ và $y^2<t$ thì $2(y-x)=2t>x^2+y^2\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2<2$ điều này vô lí do $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

do đó phải ít nhất một trong hai phân số $\frac{t-1}{t-x^2},\frac{t-1}{t-y^2}$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $0$

$\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t+y^2}\leq 0+(t-1)<t$ điều này vô lí

vậy $\boxed{(x,y)\in \left \{ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-1,0),(1,2),(0,1),(-2,-1) \right \}}$

Spoiler

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-12-2014 - 19:13

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh