$(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).$
#1
Đã gửi 19-05-2012 - 11:49
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
- Tham Lang, nguyenta98, daovuquang và 14 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 22-05-2014 - 14:36
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 23/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
- LNH, toanc2tb, buiminhhieu và 2 người khác yêu thích
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#3
Đã gửi 06-06-2014 - 20:40
xét x=0 thì y=0 hoặc y=1
xét y=0 thì x=0 hoặc x=-1
xét x và y đều khác 0
đăt d=(x;y)$\Rightarrow$ x=dx1 và y=dy1 với (x1,y1)=1
Lúc đó biểu thức đã cho tương đương với:
$(d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1)(d^{2}x1^{2}+dx1-dy1)=(d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1)(d^{2}y1^{2}+dx1-dy1)$
Đặt k=($d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1,d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$)
suy ra k/$d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1+d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$
hay $k/d^{3}(x1^{3}+y1^{3})$
suy ra k/d hoặc k/$x1^{3}+y1^{3}$
TH1:Nếu k/d thì
$k/d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1$
$\rightarrow k=1$
$\Rightarrow d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1=d^{2}y1^{2}+dx1-dy1$
suy ra d=1 từ đó ta có hệ 2 pt:
$y^{3}+xy-1=y^{2}+x-y$ (1)
$x^{3}-xy+1=y^{2}+x-y$ (2)
suy ra x=y=1
Th2:tương tự.
Vậy S={(0;0);(-1;0);(0;1);(1;1)}
- hieuvipntp yêu thích
#4
Đã gửi 08-06-2014 - 10:26
Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
Iran TST 2012 - Third exam - 1st day - Problem 3
- Zaraki và HoangHungChelski thích
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
#5
Đã gửi 05-12-2014 - 19:11
Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]
$\blacksquare$ với $x=y$ thì $...$
$\blacksquare$ với $\left | x \right |\leq 1$ hoặc $\left | y \right |\leq 1$ thì ta có $x,y\in \left \{ -1,0,1 \right \}$ thì $...$
$\blacksquare$ với $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$
$\triangleright$ Với $x>y$ từ giả thiết ta có $\frac{x^3-xy+1}{x^2+x-y}=\frac{y^3+xy-1}{y^2+x-y}\Leftrightarrow x-y=\frac{x^2-1}{x^2+x-y}+\frac{y^2-1}{y^2+x-y}$
đặt $z=x-y>0\Rightarrow z=\frac{x^2-1}{x^2+z}+\frac{y^2-1}{y^2+z}$
ta có $0<\frac{x^2-1}{x^2+z},\frac{y^2-1}{y^2+z}<1\Rightarrow 0$ do đó $1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}$
vì $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2+1},\frac{y^2-1}{y^2+1}<\frac{1}{2}\Rightarrow 1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}<1$
điều này vô lí
$\triangleright$ Với $x<y$ đặt $t=y-x>0\Rightarrow t=\frac{x^2-1}{t-x^2}+\frac{y^2-1}{t-y^2}\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t-y^2}$
nếu $x^2<t$ và $y^2<t$ thì $2(y-x)=2t>x^2+y^2\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2<2$ điều này vô lí do $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$
do đó phải ít nhất một trong hai phân số $\frac{t-1}{t-x^2},\frac{t-1}{t-y^2}$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $0$
$\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t+y^2}\leq 0+(t-1)<t$ điều này vô lí
vậy $\boxed{(x,y)\in \left \{ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-1,0),(1,2),(0,1),(-2,-1) \right \}}$
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-12-2014 - 19:13
- Nguyen Bao Khanh yêu thích
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh