Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng         cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng         sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 23/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng         sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[gatoanhoc1998]

xét x=0 thì y=0 hoặc y=1

xét y=0 thì x=0 hoặc x=-1

xét x và y đều khác 0

đăt d=(x;y)$\Rightarrow$ x=dx₁ và y=dy₁ với (x1,y1)=1

Lúc đó biểu thức đã cho tương đương với:

$(d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1)(d^{2}x1^{2}+dx1-dy1)=(d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1)(d^{2}y1^{2}+dx1-dy1)$

Đặt k=($d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1,d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$)

suy ra k/$d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1+d^{3}x1^{3}-d^{2}x1y1+1$

hay $k/d^{3}(x1^{3}+y1^{3})$

suy ra k/d hoặc k/$x1^{3}+y1^{3}$

TH1:Nếu k/d thì

$k/d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1$

$\rightarrow k=1$

$\Rightarrow d^{3}y1^{3}+d^{2}x1y1-1=d^{2}y1^{2}+dx1-dy1$

suy ra d=1 từ đó ta có hệ 2 pt:

      $y^{3}+xy-1=y^{2}+x-y$ (1)

      $x^{3}-xy+1=y^{2}+x-y$  (2)

suy ra x=y=1

Th2:tương tự.

Vậy S={(0;0);(-1;0);(0;1);(1;1)}

[Strygwyr]

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

Iran TST 2012 - Third exam - 1st day - Problem 3

[chardhdmovies]

Tìm mọi số nguyên $x,y$ sao cho
\[(y^3+xy-1)(x^2+x-y)=(x^3-xy+1)(y^2+x-y).\]

$\blacksquare$ với $x=y$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |\leq 1$ hoặc $\left | y \right |\leq 1$ thì ta có $x,y\in \left \{ -1,0,1 \right \}$ thì $...$

$\blacksquare$ với $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

$\triangleright$ Với $x>y$ từ giả thiết ta có $\frac{x^3-xy+1}{x^2+x-y}=\frac{y^3+xy-1}{y^2+x-y}\Leftrightarrow x-y=\frac{x^2-1}{x^2+x-y}+\frac{y^2-1}{y^2+x-y}$

đặt $z=x-y>0\Rightarrow z=\frac{x^2-1}{x^2+z}+\frac{y^2-1}{y^2+z}$

ta có $0<\frac{x^2-1}{x^2+z},\frac{y^2-1}{y^2+z}<1\Rightarrow 0$ do đó $1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}$

vì $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1\Rightarrow \frac{x^2-1}{x^2+1},\frac{y^2-1}{y^2+1}<\frac{1}{2}\Rightarrow 1=\frac{x^2-1}{x^2+1}+\frac{y^2-1}{y^2+1}<1$

điều này vô lí

$\triangleright$ Với $x<y$ đặt $t=y-x>0\Rightarrow t=\frac{x^2-1}{t-x^2}+\frac{y^2-1}{t-y^2}\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t-y^2}$

nếu $x^2<t$ và $y^2<t$ thì $2(y-x)=2t>x^2+y^2\Rightarrow (x+1)^2+(y-1)^2<2$ điều này vô lí do $\left | x \right |>1,\left | y \right |>1$

do đó phải ít nhất một trong hai phân số $\frac{t-1}{t-x^2},\frac{t-1}{t-y^2}$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $0$

$\Rightarrow t+2=\frac{t-1}{t-x^2}+\frac{t-1}{t+y^2}\leq 0+(t-1)<t$ điều này vô lí

vậy $\boxed{(x,y)\in \left \{ (0,0),(1,1),(-1,-1),(-1,0),(1,2),(0,1),(-2,-1) \right \}}$

Spoiler

tình cờ thấy bài này trong phần xét khoảng cho phương trình

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 05-12-2014 - 19:13