Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi vào 10 chuyên Toán-Tin ĐHSPHN 2008-2009


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 21-05-2012 - 11:30

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin

Năm học 2008-2009. Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1: Ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{c}$ và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$. Chứng minh đẳng thức:
$$\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}}$$

Câu 2.
1. Với mỗi số dương $a$ thỏa mãn $a^3=6(a+1)$, chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
$$x^2+ax+a^2-6=0$$
2. Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho
$$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$$

Câu 3:Ba số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$(i): a$ là ước của $b+c+bc$
$(ii): b$ là ước của $a+c+ac$
$(iii): c$ là ước của $a+b+ab$
CMR: $a,b,c$ không đồng thời là các số nguyên tố

Câu 4: Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $©$ đi qua các điểm $A,B$ và cắt các cạnh $CA,CB$ tại các điểm $L,N$ tương ứng $(L\ne A,C;N\ne B,C)$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $LN$ của đường tròn $©$ và $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thằng $AM$ cắt cắt các đường thẳng $BL$ và $BN$ tại các điểm $D$ và $F$ tương ứng, đường thẳng $BM$ cắt các đường thẳng $AN$ và $AL$ tại các điểm $E$ và $G$ tương ứng. Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $BL$.
1. Chứng minh $DE//GF$
2. Nếu tứ giác $DEFG$ là hình bình hành, hãy chứng minh:
$a) \Delta ALP\sim \Delta ANC\\ b)DF\perp EG$

Câu 5: Cho $13$ điểm phân biệt nằm trong hay trên cạnh của một tam giác đều có cạnh bàng $6 cm$. Chứng minh rằng luôn tồm tại hai điểm trong số $13$ điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá $\sqrt{3} cm$




--------------------------HẾT--------------------------

Thấy VMF chưa có đề này nên mình đưa lên cho ae tham khảo :P. Cái đề này mình thấy ở trong một quyển sách của mình nhé ^_^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 21-05-2012 - 11:31

Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 21-05-2012 - 11:47

Câu 1: Ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne \sqrt{c}$ và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2$. Chứng minh đẳng thức:

$$\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}}$$

Câu 2.
1. Với mỗi số dương $a$ thỏa mãn $a^3=6(a+1)$, chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
$$x^2+ax+a^2-6=0$$
2. Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho
$$2(a^2+1)(b^2+1)=(a+1)(b+1)(ab+1)$$

Đề này cũng từng giải rồi :D
Câu 1:
Ta có $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\Rightarrow a=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2-b=(\sqrt{a}+2\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{c})$
và $a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\Rightarrow b=(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})^2-a=(2\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})$
Do đó $\displaystyle{\frac{a+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{b+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}}=\frac{(\sqrt{a}+2\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{c})+(\sqrt{a}-\sqrt{c})^2}{(2\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{b}-\sqrt{c})+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}$
$=...=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$
Câu 2:
1. Xét $\Delta =a^2-4a^2+24=3(8-a^2)$
Giả sử phương trình có nghiệm tức là$0< a\leq 2\sqrt{2}$
Ta có $a^3=6(a+1)$ nên$6+\frac{6}{a}=a^2\leq 8\Rightarrow \frac{6}{a}\leq 2\Rightarrow a\geq 3> 2\sqrt{2}$ (mâu thuẫn)
Vậy ta có đpcm.
2. Ta có $2(a^2+1)\geq (a+1)^2;2(b^2+1)\geq (b+1)^2;(a^2+1)(b^2+1)\geq (ab+1)^2\Rightarrow 2(a^2+1)(b^2+1)\geq (a+1)(b+1)(ab+1)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Thích ngủ.


#3 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 21-05-2012 - 12:10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin

Năm học 2008-2009. Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 3:Ba số dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
$(i): a$ là ước của $b+c+bc$
$(ii): b$ là ước của $a+c+ac$
$(iii): c$ là ước của $a+b+ab$
CMR: $a,b,c$ không đồng thời là các số nguyên tố

Câu 4: Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn $©$ đi qua các điểm $A,B$ và cắt các cạnh $CA,CB$ tại các điểm $L,N$ tương ứng $(L\ne A,C;N\ne B,C)$. Gọi $M$ là trung điểm của cung $LN$ của đường tròn $©$ và $M$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thằng $AM$ cắt cắt các đường thẳng $BL$ và $BN$ tại các điểm $D$ và $F$ tương ứng, đường thẳng $BM$ cắt các đường thẳng $AN$ và $AL$ tại các điểm $E$ và $G$ tương ứng. Gọi $P$ là giao điểm của $AN$ và $BL$.
1. Chứng minh $DE//GF$
2. Nếu tứ giác $DEFG$ là hình bình hành, hãy chứng minh:
$a) \Delta ALP\sim \Delta ANC\\ b)DF\perp EG$

$P/S:$ 2 bài này đã có ở đây !
---

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#4 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 21-05-2012 - 19:13

Bài 5;
Hình đã gửi[/img]Chia tam giác đều thành 12 phần bằng nhau như trên. Ta tính được độ dài đoạn lớn nhất trong mỗi phần là $\sqrt{3}$
13 điểm chia vào 12 hình $\Rightarrow$ có ít nhất một hình chứa 2 điểm. Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 21-05-2012 - 19:15

Hình đã gửi


#5 Linhh Chii

Linhh Chii

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hồ Chí Minh

Đã gửi 23-02-2015 - 19:43

Chia tam giác thành 12 phaanftrong đó

G là trọng tâm của tam giác ABC

M,N,P là trung điểm GA,GB,GC

D,E,F là trung điểm của BC,CA,AB

Theo nguyên tắn Diriclet, trong số 13 điểm đã cho có ít nhất 2 điểm cùng thuộc 1 phần



#6 tandatcr2000pro

tandatcr2000pro

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết

Đã gửi 25-02-2015 - 16:31

Xin đóng góp một bài, không khó nhưng phổ biến trong các đề thi lớp 8.

$\frac{163-x}{13}+\frac{214-x}{32}+\frac{291-x}{47}+\frac{362-x}{53}=10$


$0\vdots 0$


#7 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1535 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 25-02-2015 - 16:37

Xin đóng góp một bài, không khó nhưng phổ biến trong các đề thi lớp 8.

$\frac{163-x}{13}+\frac{214-x}{32}+\frac{291-x}{47}+\frac{362-x}{53}=10$

$\frac{163-x}{13}-1+\frac{214-x}{32}-2+\frac{291-x}{47}-3+\frac{362-x}{53}-4=0\Leftrightarrow (150-x)\left ( \frac{1}{13}+\frac{1}{32}+\frac{1}{47}+\frac{1}{53} \right )=0\Rightarrow x=150$



#8 ledacthuong2210

ledacthuong2210

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải lăng
  • Sở thích:Toán,Tin học,Hóa Học,Vật lý,Khám phá.ok

Đã gửi 28-06-2016 - 10:52

Đúng rồi đó






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh