Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in N$ ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$

^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in N$ ta có
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 22-05-2012 - 12:12

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Chứng minh rằng với mọi $n\geq 1,n\in N$ ta có
$$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}$$

Lời giải của tác giả Nguyễn Văn Dũng trong cuốn "Phương pháp giải toán BĐT và cực trị":
Xét bất đẳng thức:
$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4n} $.
(Với $ n \in N, n \geq 1 $.)
Bất đẳng thức trên đúng với $ n = {1, 2, 3} $. Với $n={4}$, bất đẳng thức trở thành:
$\frac{1}{4+1} + \frac{1}{4+2} + \frac{1}{4+3} + \frac{1}{4+4} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4.4} $
$ \Leftrightarrow 1066 < 1071 $ (đúng}
nên bất đẳng thức đúng với $ n = 4 $.
Giả sử bất đẳng thức đúng với $ n=k (k \geq 4, k \in N) $, tức là:
$ {S_k} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2} +...+ \frac{1}{2k} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4(k+1)} $.
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $ n = k+1 $. Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
$ {S_{k+1}} = \frac{1}{k+2} + \frac{1}{k+3} +...+ \frac{1}{2k+2} $
$ = {S_k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2k+2} $
$ = {S_k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} $.
Do vậy chỉ cần chứng minh:
$ - \frac{1}{4k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} < -\frac{1}{4(k+1)} $
$ \Leftrightarrow 2k<2k+1 $ (đúng).
Vậy bất đẳng thức đúng với $ n = k+1 $, nên theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi $ n \geq 4 $. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 02-06-2012 - 13:16

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#3
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Xét bất đẳng thức:
$ \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} +...+ \frac{1}{2n} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4n} $.
(Với $ n \in N, n \geq 1 $.)
Bất đẳng thức trên đúng với $ n = {1, 2, 3} $. Với $n={4}$, bất đẳng thức trở thành:
$\frac{1}{4+1} + \frac{1}{4+2} + \frac{1}{4+3} + \frac{1}{4+4} < \frac{7}{10} - \frac{1}{4.4} $
$ \Leftrightarrow 1066 < 1071 $ (đúng}
nên bất đẳng thức đúng với $ n = 4 $.
Giả sử bất đẳng thức đúng với $ n=k (k \geq 4, k \in N) $, tức là:

Tại sao bạn lại thử n = 1,2,3,4 trước vậy , sao không thực hiện luôn phương pháp qui nạp


Do vậy chỉ cần chứng minh:
$ - \frac{1}{4k} + \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} < -\frac{1}{4(k+1)} $
$ \Leftrightarrow 2k<2k+1 $ (đúng).

Vậy bất đẳng thức đúng với $ n = k+1 $, nên theo nguyên lí quy nạp ta có bất đẳng thức đúng với mọi $ n \geq 4 $. Suy ra điều phải chứng minh.

Tớ nghĩ đến đoạn in đậm chỉ cần CM $\frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1}$ là đủ mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 02-06-2012 - 08:34


#4
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Tại sao bạn lại thử n = 1,2,3,4 trước vậy , sao không thực hiện luôn phương pháp qui nạp



Tớ nghĩ đến đoạn in đậm chỉ cần CM $\frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1}$ là đủ mà

Bạn ơi, đúng là $ \frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1} $, nhưng chưa chắc $ \frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} $ đã lớn hơn $ \frac{1}{4(k+1)}$. Do đó ta phải chứng minh:
$ -[\frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}] < -\frac{1}{4(k+1)} $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 02-06-2012 - 09:25

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#5
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Tại sao bạn lại thử n = 1,2,3,4 trước vậy , sao không thực hiện luôn phương pháp qui nạp



Tớ nghĩ đến đoạn in đậm chỉ cần CM $\frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1}$ là đủ mà

Mình nghĩ thế này chưa đủ đâu.

#6
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Bạn ơi, đúng là $ \frac{1}{4k} > \frac{1}{4k+1} $, nhưng chưa chắc $ \frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)} $ đã lớn hơn $ \frac{1}{4(k+1)}$. Do đó ta phải chứng minh:
$ -[\frac{1}{4k} - \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}] < -\frac{1}{4(k+1)} $.

Thế còn câu hỏi 1 của tớ, trl giúp cái

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 02-06-2012 - 10:03


#7
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Thế còn câu hỏi 1 của tớ, trl giúp cái

Uhm bản thân bài toán này mà để nguyên dạng ban đầu như của bạn Ispectorgadget thì khó mà giải được vì bước chuyển từ $ k $ sang $ k+1 $ sẽ không thực hiện được (các bạn có thể kiểm chứng). Vì vậy ta sẽ tìm một số thực $m>0$ thích hợp sao cho bất đẳng thức sau đúng:
$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}-\frac{m}{n}$
Số m phải thỏa mãn các điều kiện:
1.Bước chuyển quy nạp từ $k$ sang $k+1$ có thể thực hiện được.
2.Bất đăngt thức trên đúng với một giá trị đầu của n. Giá trị đầu này có thể khác với giá trị đầu của đề bài ($n\geq1$). Ta chọn giá trị này là khởi điểm quy nạp.
Xét điều kiện (1), ta có:
${S_k}={S_{k+1}}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<\frac{7}{10}-\frac{m}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}.$
Do đó m phải thỏa mãn:
$-\frac{m}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<-\frac{m}{k+1}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<m\lgroup\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\rgroup$
$\Leftrightarrow (4m-1)k+2m>0$
$\Leftrightarrow m \geq \frac{1}{4} $
Tiếp theo là điều kiện (2):
+Nếu ta xét $ n=1 $ đầu tiên, bất đẳng thức trờ thành:
$\frac{1}{2}<\frac{7}{10}-m$
$\Leftrightarrow m<\frac{1}{5}$(Loại vì $m \geq \frac{1}{4}).$
+Ta cũng làm tương tự như vậy với $n=2, 3$. Với $n=4$, bất đẳng thức trở thành:
$\frac{1}{4+1}+\frac{1}{4+2}+\frac{1}{4+3}+\frac{1}{4+4} < \frac{7}{10} - \frac{m}{4} $
$\Leftrightarrow m<\frac{11}{42}$ (Bất đẳng thức đúng với $m=\frac{1}{4}$ nên ta chọn)
Như vậy ta sẽ chọn $m=\frac{1}{4}$ và điểm xuất phát quy nạp là $n=4$ sau đó đi đến lời giải như trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhluong: 02-06-2012 - 10:23

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#8
duongvantam1212001

duongvantam1212001

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

$<=>\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n-1+1} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} =\frac{1}{n}-\frac{1}{2n} =\frac{1}{2n} Do n\geq 1 =>2n\geq 2=>\frac{1}{2n}\leq \frac{1}{2}< \frac{7}{10}(đpcm)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvantam1212001: 02-08-2015 - 10:28






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ^_^

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh