Chủ đề này có 2 trả lời

[terenceTAO]

Cho các số thực a,b,c,x,y,z.Chứng minh
$\frac{bcx}{(x+y)(x+z)}+\frac{cay}{(y+z)(y+x)}+\frac{abz}{(z+x)(z+y)}\leq \frac{(a+b+c)^2}{4(x+y+z)}$
Đề thi tài năng toán học trẻ THPT-http://www.truongtructuyen.vn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi terenceTAO: 22-05-2012 - 15:57

[nthoangcute]

Lời giải
Đặt $m=x+y,n=y+z,k=z+x$ thì $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
$$
\begin{array}{l}
3.6 \Leftrightarrow \dfrac{bc(m+k-n)}{mk}+\dfrac{ac(m+n-k)}{mn}+\dfrac{bc(n+k-m)}{nk}\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{m+n+k}\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2+2mk)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2+2mn)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2+2nk)}{nk}\leq (a+b+c)^2\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2)}{nk}\leq a^2+b^2+c^2 \hfill \quad (*)
\end{array}
$$
Nhưng mặt khác do $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên (*) có thể viết lại thành:
\begin{equation}
\;\;\;\;(3.1.1)
2bc\cos \widehat{N}+2ac\cos \widehat{K}+2ab\cos \widehat{M}\leq a^2+b^2+c^2
\end{equation}
Trong đó: $\widehat{M},\widehat{N},\widehat{P}$ là 3 góc của $\vartriangle MNP$ nhận $m,n,p$ thứ tự là cạnh đối diện tương ứng.
Và ${3.1.1}$ là bất đẳng thức lượng giác quen thuộc nên ta có đpcm.

[toanhoc2017]

Lời giải
Đặt $m=x+y,n=y+z,k=z+x$ thì $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
$$
\begin{array}{l}
3.6 \Leftrightarrow \dfrac{bc(m+k-n)}{mk}+\dfrac{ac(m+n-k)}{mn}+\dfrac{bc(n+k-m)}{nk}\leq \dfrac{(a+b+c)^2}{m+n+k}\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2+2mk)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2+2mn)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2+2nk)}{nk}\leq (a+b+c)^2\\
\Leftrightarrow \dfrac{bc(m^2+k^2-n^2)}{mk}+\dfrac{ac(m^2+n^2-k^2)}{mn}+\dfrac{bc(n^2+k^2-m^2)}{nk}\leq a^2+b^2+c^2 \hfill \quad (*)
\end{array}
$$
Nhưng mặt khác do $m,n,k$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên (*) có thể viết lại thành:
\begin{equation}
\;\;\;\;(3.1.1)
2bc\cos \widehat{N}+2ac\cos \widehat{K}+2ab\cos \widehat{M}\leq a^2+b^2+c^2
\end{equation}
Trong đó: $\widehat{M},\widehat{N},\widehat{P}$ là 3 góc của $\vartriangle MNP$ nhận $m,n,p$ thứ tự là cạnh đối diện tương ứng.
Và ${3.1.1}$ là bất đẳng thức lượng giác quen thuộc nên ta có đpcm.

Bai nay hay