Bài 71: GHPT
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} = 50\\
{x^2} - {y^2} + {z^2} - {t^2} = - 24\\
x{\rm{z}} = yt\\
x - y + z + t = 0
\end{array} \right.\]
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=50(1)\\ x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}=-24(2)\\ xy=zt(3)\\ x-y+z+t=0(4) \end{matrix}\right.$
Xét phương trình $(3)$: $xz=yt\Leftrightarrow xz-yt=0$
Ta xét phương trình $(1)$ và phương trình $(4)$:
$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=50\\ x-y+z+t=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} (x+z)^{2}+(y-t)^{2}=50\\ (x+z)-(y-t)=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} (x+z)^{2}+(y-t)^{2}=50\\ x+z=y-t \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$ hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$
Xét phương trình $(2)$
$x^{2}-y^{2}+z^{2}-t^{2}=-24$
$\Leftrightarrow (x+z)^{2}-(y-t)^{2}-2(xz+yt)=-24$
$\Leftrightarrow -2(xz+yt)=-24$
$\Leftrightarrow xz+yt=12$ (5)
Xét phương trình $(3)$: $xz=yt\Leftrightarrow xz-yt=0$
Kết hợp với phương trình $(5)$, ta có hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix} xz+yt=12\\ xz-yt=0 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} xz=6\\ yt=6 \end{matrix}\right.$
Ta có các điều sau:
$\left\{\begin{matrix} xz=6\\ yt=6 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$ hay $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$
TH1: Với $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=5\\ y-t=5 \end{matrix}\right.$
TH1.1:
$\left\{\begin{matrix} x+z=5\\ xz=6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x=3\\ z=2 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} x=2\\ z=3 \end{matrix}\right.$
TH1.2:
$\left\{\begin{matrix} y-t=5\\ yt=6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} y=6\\ t=1 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=-1\\ t=-6 \end{matrix}\right.$
Vậy ở TH1 ta có $4$ giá trị $(x;y;z;t)=\begin{Bmatrix} (3;6;2;1);(2;6;3;1);(3;-1;2;-6);(2;-1;3;-6) \end{Bmatrix}$
TH2: Với $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ y-t=-5 \end{matrix}\right.$
TH2.1:
$\left\{\begin{matrix} x+z=-5\\ xz=6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} x=-3\\ z=-2 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} x=-2\\ z=-3 \end{matrix}\right.$
TH2.2:
$\left\{\begin{matrix} y-t=-5\\ yt=6 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} y=1\\ t=6 \end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix} y=-6\\ t=-1 \end{matrix}\right.$
Vậy ở TH2 ta có $4$ giá trị $(x;y;z;t)=\begin{Bmatrix} (-3;1;-2;6);(-2;1;-3;6);(-3;-6;-2;-1);(-2;-6;-3;-1) \end{Bmatrix}$
Vậy ở 2 TH ta có $8$ giá trị $(x;y;z;t)$ thoả mãn:
$$\boxed{\begin{Bmatrix} (3;6;2;1);(2;6;3;1);(3;-1;2;-6);(2;-1;3;-6);(-3;1;-2;6);(-2;1;-3;6);(-3;-6;-2;-1);(-2;-6;-3;-1) \end{Bmatrix}}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 07-06-2012 - 08:22