Chủ đề này có 2 trả lời

[Lamat]

1. Cho $x, y, z, t \ge 0$ thoả $x + y + z + t = 4$.

Cm: $\sqrt{2x^2 + x + 1} + \sqrt{2y^2 + y + 1} + \sqrt{2z^2 + z + 1} + \sqrt{2t^2 + t + 1} \ge 8$

2. Cho $x, y, z \ge 0$ thoả $x + y + z = 1$.

Cm: $\frac{-\sqrt{3}}{18} \le (x - y)(y - z)(z - x) \le \frac{\sqrt{3}}{18}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nsthanh: 24-05-2012 - 22:40

[Ispectorgadget]

Bài 2: Ta chỉ cần chứng minh $|(x-y)(y-z)(z-x)|\leq \frac{\sqrt{3}}{18}$
Giả sử $x\geq y\geq z$. Áp dụng BĐT AM-GM
$$|(x-y)(y-z)(z-x)|=(x-y)(y-z)(z-x)\leq (x+z)y(x+z-y)$$
$$=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+1)(x+z)y(\sqrt{3}-1)(x+z-y)\leq \frac{1}{2}[\frac{(\sqrt{3}+1)(x+z)+y(\sqrt{3}-1)+(x+z-y)}{3}]^3$$
$$=\frac{1}{2}[\frac{\sqrt{3}(x+y+z)^3}{27}]=\frac{\sqrt{3}}{18}$$
Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{3+\sqrt{3}}{6};y=\frac{3-\sqrt{3}}{6};z=0$ và các hoán vị tương ứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-05-2012 - 22:52

[caovannct]

Bài 1: Ta có: $2x^{2}+x+1=\frac{7}{4}x^{2}+(\frac{x}{2}+1)^{2}\geq \frac{1}{7+9}(\frac{7}{2}x+3(\frac{x}{2}+1)^{2}) \Rightarrow \sqrt{2x^{2}+x+1}\geq \frac{1}{4}(5x+3)^{2}.$
Tương tự như trên, cộng vế theo vế và sử dunggj x+y+z+t=1, suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=t=1.