Chủ đề này có 2 trả lời

[Lamat]

Tính tích phân:

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4x^3 + 7x + 2012sinx}{x^2 + cosx}dx$

[Crystal]

Tính tích phân:

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{4x^3 + 7x + 2012sinx}{x^2 + cosx}dx$

Ta có: \[I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}} dx = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} \]
Xét tích phân: $J = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} $

+ Đặt $x = - t \Rightarrow dx = - dt$.

+ Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\\
x = 0 \Rightarrow t = 0
\end{array} \right.$

Khi đó: \[J = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\frac{{4{{\left( { - t} \right)}^3} + 7\left( { - t} \right) + 2012\sin \left( { - t} \right)}}{{{{\left( { - t} \right)}^2} + \cos \left( { - t} \right)}}dt} = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{t^3} + 7t + 2012\sin t}}{{{t^2} + \cos t}}dt} \]
\[ = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} \]
Từ đó: \[I = - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{4{x^3} + 7x + 2012\sin x}}{{{x^2} + \cos x}}dx} = 0\]

[Crystal]

Tích phân trên thuộc lớp các tích phân đặc biệt. Cụ thể:

Tính chất: Nếu $f(x)$ liên tục và là hàm số lẻ trên $\left[ { - a;a} \right]$ thì: \[\boxed{I=\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)} dx = 0}\]
Chứng minh:

Ta có: \[I = \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)} dx = \int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx\]
Xét tích phân: $J = \int\limits_{ - a}^0 {f\left( x \right)} dx$

+ Đặt $x = - t \Rightarrow dx = - dt$.

+ Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = - a \Rightarrow t = a\\
x = 0 \Rightarrow t = 0
\end{array} \right.$

Mặt khác, $f(x)$ là hàm số lẻ nên $(-t)=-f(t)$

Khi đó: \[J = - \int\limits_a^0 {f\left( { - t} \right)} dt = - \int\limits_0^a {f\left( t \right)} dt = - \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx\]
Từ đó, ta được: \[I = - \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx + \int\limits_0^a {f\left( x \right)} dx = 0\]

* Áp dụng vào bài toán trên ta có ngay được kết quả.

* Còn nhiều tính chất khác nữa, có thời gian mình sẽ gửi lên để các bạn tham khảo.

---