Cho $x_1;x_2;...x_n$ là các tham số dương của hệ phương trình nghiệm dương $a_1;a_2;...;a_n$ sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} = {x_1}{x_2}...{x_n} \textbf{ (1)}\\
\sqrt {{a_1} + {a_2}} + \sqrt {{a_2} + {a_3}} + ... + \sqrt {{a_{n - 1}} + {a_n}} + \sqrt {{a_n} + {a_1}} = \sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^{n - 2}} .\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \textbf{ (2)}
\end{array} \right.\]
Lời giải:
\[(1) \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{x_2}{x_3}...{x_n}}} + \frac{{{a_2}}}{{{x_1}{x_3}...{x_n}}} + ... + \frac{{{a_n}}}{{{x_1}{x_2}...{x_{n - 1}}}} = 1\]
Đặt: ${m_i} = \frac{{{a_i}{x_i}}}{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$ với $i = \overline {1;n} $ thì $m_1+m_2+...+m_n=1$
Suy ra:
\[V{T_{(2)}} = \sqrt {{x_3}{x_4}...{x_n}\left( {{m_1}{x_2} + {m_2}{x_1}} \right)} + \sqrt {{x_1}{x_4}...{x_n}\left( {{m_2}{x_3} + {m_3}{x_2}} \right)} + ... + \sqrt {{x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}\left( {{m_n}{x_1} + {m_1}{x_n}} \right)} \]
\[ \le \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{m_1}({x_n} + {x_2}) + {m_2}({x_1} + {x_3}) + ... + {m_n}({x_{n - 1}} + {x_1})} \right]} \]
\[ < \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right]} \textbf{ (3)} \]
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\[{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}} \le {x_1}^{n - 2} + {x_2}^{n - 2} + ... + {x_n}^{n - 2}\]
Từ đó thay vào $(3)$ ta được $V{T_{(2)}} < V{P_{(2)}}$
Vậy kết luận hệ vô nghiệm dương.
Mở rộng này chỉ được 6 đ.
Viết sai từ chỗ này
Và cần phải viết rõ chỗ này:\[ \le \sqrt {\left( {{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}}} \right)\left[ {{m_1}({x_n} + {x_2}) + {m_2}({x_1} + {x_3}) + ... + {m_n}({x_{n - 1}} + {x_1})} \right]} \]
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\[{x_3}{x_4}...{x_n} + {x_1}{x_4}...{x_n} + ... + {x_2}{x_3}...{x_{n - 1}} \le {x_1}^{n - 2} + {x_2}^{n - 2} + ... + {x_n}^{n - 2}\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 11:31