Chủ đề này có 2 trả lời

[henry0905]

x,y,z>0. xyz=1
Tìm MAX: $\frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^{5}-y^{2}+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^{5}-z^{2}+3zx+6}}$

[nguyenta98]

x,y,z>0. xyz=1
Tìm MAX: $\frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^{5}-y^{2}+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^{5}-z^{2}+3zx+6}}$

Giải như sau:
Đặt phương trình ban đầu là $A$
Áp dụng BDT $\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\le (a^2+b^2+c^2)$ và BDT cô si $5$ và $3$ số suy ra
$$\dfrac{A^2}{3}=\dfrac{(\frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^{5}-y^{2}+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^{5}-z^{2}+3zx+6}})^2}{3}\le \frac{1}{x^{5}-x^{2}+3xy+6}+\frac{1}{y^{5}-y^{2}+3yz+6}+\frac{1}{z^{5}-z^{2}+3zx+6}=B$$
Ta dự đoán $max{A}=1$ khi $x=y=z=1$ cho nên ta sẽ chứng minh $B\le \dfrac{1}{3}$
Hay chứng minh $$\frac{1}{x^{5}-x^{2}+3xy+6}+\frac{1}{y^{5}-y^{2}+3yz+6}+\frac{1}{z^{5}-z^{2}+3zx+6}\le \dfrac{1}{3}$$
$$\sum{\frac{1}{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}=\sum{\frac{1}{\frac{x^{5}}{2}+\frac{x^5}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-x^{2}+3xy+\frac{9}{2}}}$$
$$\le \sum{\frac{1}{5\sqrt[5]{\frac{x^{5}}{2}.\frac{x^5}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}+3xy+\frac{9}{2}}}$$
$$=\sum{\frac{1}{\frac{3}{2}.x^2+3xy+\frac{9}{2}}}=\sum{\frac{1}{\frac{3}{2}.x^2+\frac{3}{2}+3xy+3}}\le \sum{\frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{2}.x^2.\frac{3}{2}}+3xy+3}}$$
$$=\sum{\frac{1}{3x+3xy+3}}$$
$$=\frac{1}{3x+3xy+3}+\frac{1}{3y+3yz+3}+\frac{1}{3z+3zx+3}$$
$$=\frac{1}{3}(\frac{1}{x+xy+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{1}{z+zx+1}$$
$$=\frac{1}{3}(\dfrac{xyz}{x+xy+xyz}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{xyz}{z+zx+xyz})$$
$$=\frac{1}{3}(\dfrac{yz}{y+yz+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{xy}{1+x+xy})$$
$$=\frac{1}{3}(\dfrac{yz}{y+yz+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{xy}{xyz+x+xy})$$
$$=\frac{1}{3}(\dfrac{yz}{y+yz+1}+\frac{1}{y+yz+1}+\frac{y}{y+yz+1})=\frac{1}{3}$$
Do đó $B\le \dfrac{1}{3} \rightarrow \dfrac{A^2}{3}\le \dfrac{1}{3} \rightarrow max{A}=1$
Dấu $= \leftrightarrow x=y=z=1$

P/S bị gõ nhầm dấu một chỗ đã edit

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-05-2012 - 17:05

[KietLW9]

Ta có: $(x^5-x^2+6)-(3x+3)=(x-1)^2(x^3+2x^2+3x+3)\geqslant 0\Rightarrow x^5-x^2+6\geqslant 3x+3$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^{5}-y^{2}+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^{5}-z^{2}+3zx+6}}\leqslant \frac{1}{\sqrt{3xy+3x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3yz+3y+3}}+\frac{1}{\sqrt{3zx+3z+3}}\leqslant \sqrt{3(\frac{1}{3xy+3x+3}+\frac{1}{3yz+3y+3})+\frac{1}{3zx+3z+3})}=1$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 21-04-2021 - 10:10