Đến nội dung


Hình ảnh

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính: 1) $min (a^3+b^3+c^3)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Sun love moon HP

Sun love moon HP

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Sun Moon :X!

Đã gửi 28-05-2012 - 15:45

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:
1) $min (a^3+b^3+c^3)$.
2) $min (a^3+64b^3+c^3)$.
3) $max (\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc})$.
4) $max (\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$.

Sun Love Moon :X!


#2 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 28-05-2012 - 15:49

1)
$\large a^3+b^3+c^3=(a^3+1+1)+(b^3+1+1)+(c^3+1+1)-6$
Theo BĐT cô si $\large a^3+1+1\geq 3a; b^3+1+1\geq 3b; c^3+1+1\geq 3c$.
Suy ra
$\large a^3+b^3+c^3\geq 3(a+b+c)-6=3$.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.
Vậy $min(a^3+b^3+c^3)=3. \blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 28-05-2012 - 15:50

Hình đã gửi


#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 28-05-2012 - 16:22

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:

2) $min (a^3+64b^3+c^3)$.

Áp dụng bđt Holder ta có:
$(a^3+64b^3+c^3)(1+\dfrac{1}{8}+1)(1+\dfrac{1}{8}+1)\geq(a+b+c)^3=27$
$\Rightarrow (a^3+64b^3+c^3)\geq\dfrac{1728}{289}$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{4a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{a}{1}$ và $a+b+c=3$
$\Leftrightarrow a=c=\dfrac{24}{17}; b=\dfrac{3}{17}$

3) $max (\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc})$.

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số ko âm ta có:
$\sqrt[3]{ab}\leq \dfrac{a+b+1}{3}$
$\sqrt[3]{bc}\leq \dfrac{b+c+1}{3}$
$\sqrt[3]{ca}\leq \dfrac{c+a+1}{3}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc}\leq \dfrac{2(a+b+c)+3}{3}=3$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:

4) $max (\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$.

Ta có:
$2\sqrt{ac}\leq a+c$
Với $k>0$ ta có: $\sqrt{ab}=\dfrac{\sqrt{a.kb}}{\sqrt{k}}\leq \dfrac{a+kb}{2\sqrt{k}}$
$\sqrt{bc}=\dfrac{\sqrt{c.kb}}{\sqrt{k}}\leq \dfrac{c+kb}{2\sqrt{k}}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leq (a+c)(\dfrac{1}{2\sqrt{k}}+1)+b.\sqrt{k}$
Chọn $k$ sao cho $\dfrac{1}{2\sqrt{k}}+1=\sqrt{k} \Leftrightarrow k=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leq \dfrac{3\sqrt{3}+3}{2}$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $a=c=\dfrac{3(2+\sqrt{3})}{6+\sqrt{3}}; b=\dfrac{6}{6+\sqrt{3}}$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#4 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 28-05-2012 - 16:57

3) cách 2:
$\large 3=a+b+c=(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2})-\frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số hạng trog các dấu ngoặc ta có được:
$\large 3\geq \sqrt[3]{\frac{1}{8}ab}+\sqrt[3]{\frac{1}{8}bc}+\sqrt[3]{\frac{1}{8}ac}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{2}\sqrt[3]{ab}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{bc}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{ac}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow 6\geq \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc}-3 \Rightarrow \blacksquare .$

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh