Đặt $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: $2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$ ( Do $(x+y+z)^3\geqslant 27xyz$)
Vậy ta có $ 2r+1\geq \frac{9r}{p}$
Ta có: $p^{3}\geq 27r$
Theo Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\Rightarrow 4q\leq p^{2}+\frac{9r}{p}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$2(p^{2}-2q)+r+8-5p\geq 0\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+(2r+1)+15-10p\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0\Leftrightarrow 4p^{2}-2p^{2}-\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0$
$\Leftrightarrow 2p^{3}-9r-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 2p^{3}-\frac{p^{3}}{3}-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 5p^{3}-30p^{2}+45p\geq 0$
$\Leftrightarrow p(p-3)^{2}\geq 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 14:40
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$