Đến nội dung

Hình ảnh

Về một bài toán trong Hello IMO 2007

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Trong cuộc thi Hello IMO 2007 do tạp chí Toán học & Tuổi trẻ tổ chức nhằm chào mừng sự kiện Việt Nam lần đầu tiên đăng cai kỳ thi Olympic toán quốc tế lần thứ 48 (IMO-2007) có bài toán bất đẳng thức sau đây

Nếu $x,y,z$ là ba số thực dương thì $$2(x^2+y^2+z^2)+xyz+8 \ge 5(x+y+z)$$

Bài viết dưới đây trình bày các lời giải chia tiết của bài toán, cũng như bài toán tổng quát và con đường mà thầy Trần Nam Dũng tác giả của bài toán đã sáng tác ra bất đẳng thức thú vị này.
Download

Tài liệu của Nguyễn Văn Huyện


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Xét biểu thức: $6(2(x^2+y^2+z^2)+xyz+8-5(x+y+z))=12(x^2+y^2+z^2)+6xyz+48-30(x+y+z)\geqslant12(x^2+y^2+z^2)+3(xyz+xyz+1)+45-5((x+y+z)^2+9)\geqslant 7(x^2+y^2+z^2)+9\sqrt[3]{x^2y^2z^2} -10(xy+yz+zx)=7(x^2+y^2+z^2)+\frac{9xyz}{\sqrt[3]{xyz}} -10(xy+yz+zx)\geqslant 7(x^2+y^2+z^2) +\frac{27xyz}{x+y+z}-10(xy+yz+zx)$

Áp dụng Schur, ta có: $(x+y+z)^3+9xyz\geqslant 4(x+y+z)(xy+yz+zx) \Leftrightarrow \frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(xy+yz+zx)-(x^2+y^2+z^2) $

Do đó: $7(x^2+y^2+z^2) +\frac{27xyz}{x+y+z}-10(xy+yz+zx)\geqslant 7(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)-3(x^2+y^2+z^2)-10(xy+yz+zx)=4(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\geqslant 0 $

Vậy chứng minh hoàn tất

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 01-04-2021 - 18:59

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đặt $p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: $2xyz+1=xyz+xyz+1\geq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{9xyz}{x+y+z}$ ( Do $(x+y+z)^3\geqslant 27xyz$)

Vậy ta có $ 2r+1\geq \frac{9r}{p}$

Ta có: $p^{3}\geq 27r$

Theo Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{9}\Rightarrow 4q\leq p^{2}+\frac{9r}{p}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

$2(p^{2}-2q)+r+8-5p\geq 0\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+(2r+1)+15-10p\geq 0$

$\Leftrightarrow 4(p^{2}-2q)+\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0\Leftrightarrow 4p^{2}-2p^{2}-\frac{9r}{p}+15-10p\geq 0$

$\Leftrightarrow 2p^{3}-9r-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 2p^{3}-\frac{p^{3}}{3}-10p^{2}+15p\geq 0\Leftrightarrow 5p^{3}-30p^{2}+45p\geq 0$

$\Leftrightarrow p(p-3)^{2}\geq 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 07-05-2021 - 14:40

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh