Chủ đề này có 2 trả lời

[thanhluong]

Cho $x\geq3$, $y\geq2$, $z\geq1$. Chứng minh rằng:
$ \frac{xy\sqrt{z-1} + zx\sqrt{y-2} + yz\sqrt{x-3}}{xyz} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} $

[minh29995]

Cho $x\geq3$, $y\geq2$, $z\geq1$. Chứng minh rằng:
$ \frac{xy\sqrt{z-1} + zx\sqrt{y-2} + yz\sqrt{x-3}}{xyz} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} $

$VT=\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}$
Áp dụng AM-GM thì:
$\sqrt{z-1}\leq \frac{z}{2}$
$\sqrt{2(y-2)}\leq \frac{y}{2}$
$\sqrt{3(x-3)}\leq \frac{x}{2}$
Do đó
$VT\leq VP$

[kainguyen]

Cho $x\geq3$, $y\geq2$, $z\geq1$. Chứng minh rằng:
$ \frac{xy\sqrt{z-1} + zx\sqrt{y-2} + yz\sqrt{x-3}}{xyz} \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} $

Biến đổi và theo bđt AM - GM, ta có:

$\frac{xy\sqrt{z-1} + zx\sqrt{y-2} + yz\sqrt{x-3}}{xyz}$

$=\frac{\sqrt{z-1}}{z}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}+\frac{\sqrt{x-3}}{x}$

$\leq \frac{z-1+1}{2z}+\frac{y-2+2}{2\sqrt{2}y}+\frac{x-3+3}{2\sqrt{3}x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{6} $

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
x=6\\
y=4\\
z=2
\end{matrix}\right.$