Chủ đề này có 13 trả lời

[blackstar158]

1. Cho a,b,c dương và a+ b + c $\leq$ 3
Chứng minh :
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2009}{ab + bc + ca}\geqslant 670$

2. Cho a > 0; b > 0 và $a^{2} + 2b^{2}\leq 3c^{2}$
Chứng minh :
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geqslant \frac{3}{c}$

3. Cho a,b >0, và $\frac{a}{1+a} + \frac{2b}{1+b} = 1$
a. Chứng minh : $ab^{2} \leq \frac{1}{16}$
b. Chứng minh : $a^{2}b^{3} \leq \frac{1}{27}$

4. Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc +ca
Chứng minh :
$\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$

5.Cho n = $\overline{xy}$ . gọi M = $\frac{n}{x+y}$
tìm n để M nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi blackstar158: 03-06-2012 - 10:14

[Math Is Love]

Xin phép chém bài 1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz có:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2010^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2009(ab+bc+ac)}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2010^{2}}{(a+b+c)^{2}+2007(ab+bc+ca)}$
Có ab+bc+ac $\leqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geqslant \frac{2010^{2}}{9+2007.3}=\frac{2010}{3}=670$
Ta có đpcm

À quên.Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[linhlun97]

bài 5
$M=\frac{n}{x+y}=\frac{10x+y}{x+y}=1+\frac{9x}{x+y}=1+\frac{9}{1+\frac{y}{x}}\geq 1+\frac{9}{1+\frac{9}{1}}= \frac{19}{10}$
GTNN của $M=\frac{19}{10}\Leftrightarrow n=19$

[linhlun97]

bài 2
áp dụng BDT bunhiakovski cho các số $\frac{1}{\sqrt{a}},\sqrt{\frac{2}{b}},\sqrt{a},\sqrt{2b}$
$((\frac{1}{\sqrt{a}})^{2}+(\sqrt{\frac{2}{b}})^2)((\sqrt{a})^2+(\sqrt{2b})^2)\geq 9$ (*)
ta có $\frac{a+2b}{c}\leq 3$ (1)
thật vậy (1)$\Leftrightarrow a+2b\leq 3c$
$\Leftrightarrow (a+2b)^2\leq 9c^2$
$\Leftrightarrow b^2+2ab\leq 3c^2$ (luôn dúng vì $b^2+2ab\leq a^2+2b^2\leq 3c^2$)
vậy $( a+2b)\frac{3}{c}\leq 9$(**)
(*). (**) $(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})(a+2b)\geq (a+2b)\frac{3}{c}\Rightarrow$ dpcm

[Tru09]

4. Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc +ca
Chứng minh :
$\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$

Ta có bất đẳng thức phụ : $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
sử dụng vào bài toán :
$\leftrightarrow\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b} +\frac{1}{2(a+b)} +\frac{1}{2(a+c)} +\frac{1}{2(b+c)} \geq 4VT$
Mà $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b} +\frac{1}{2(a+b)} +\frac{1}{2(a+c)} +\frac{1}{2(b+c)} =\frac{3}{2(a+c)} + \frac{3}{2(b+c)} + \frac{3}{2(a+b)}$
Mà $\frac{3}{2(a+c)} + \frac{3}{2(b+c)} + \frac{3}{2(a+b)} \leq\frac{3}{8}.(\frac{4}{a+c} +\frac{4}{a+b} + \frac{4}{b+c}) \leq \frac{3}{8}(\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c})$
mà $\frac{3}{8}(\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c}) = \frac{3}{4a} + \frac{3}{4b} + \frac{3}{4c} $
mà $\frac{3}{4a} + \frac{3}{4b} + \frac{3}{4c} \leq \frac{3}{4}.(\frac{ab+bc+ca}{abc})=\frac{3}{4}$( theo giả thiết)

Vậy 4VT$ \leq \frac{3}{4}$
$\rightarrow$ DPCM
Dấu '=" KHÔNG SẢY RA
$\rightarrow$ Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 03-06-2012 - 13:07

[davildark]

4. Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc +ca
Chứng minh :
$\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{36}{a+2b+3c}\Rightarrow \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{36}(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})$$
Tương tự
$$\Rightarrow \frac{1}{2a+3b+c}\leq \frac{1}{36}(\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{1}{c})$$
$$\Rightarrow \frac{1}{3a+b+2c}\leq \frac{1}{36}(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c})$$
$$\Rightarrow \frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$$
Áp dụng giả thiết ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$
$$\Rightarrow \frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c}\leq\frac{1}{6}< \frac{3}{16}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 03-06-2012 - 13:05

[ckuoj1]

1 :Ta có $ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3} \leq 3$
Ap' dụng BDT Cauchy-Schwar ta có
A = $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2}{ab+bc+ac} +\frac{2007}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}} + \frac{2007}{ab+bc+ac}$ $\geq 1+669 = 670$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ckuoj1: 03-06-2012 - 19:33

[wannabeforyou]

Bài 1 còn có thể có cách khác
Đặt $ab+ac+bc=t$ đặt cả cái VT=A thì $A\geq \frac{1}{9-t}+\frac{2009}{t}$
Ta phải CM$\frac{1}{9-t}+\frac{2009}{t}\geq 670$ Đến đây biến đổi tương đương , dấu = xảy ra khi t=3 => a=b=c=1

[wannabeforyou]

Bài 2 :
$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\geq \frac{9}{a+2b}$ (C-S)
vậy ta phải CM $a+2b\leq 3c$
Sau đó làm như cách của bạn linhlun97

[minh29995]

3. Cho a,b >0, và $\frac{a}{1+a} + \frac{2b}{1+b} = 1$
a. Chứng minh : $ab^{2} \leq \frac{1}{16}$
b. Chứng minh : $a^{2}b^{3} \leq \frac{1}{27}$

Chưa ai chém thì mình chém nốt bài 3
Từ giả thiết ta có:
$a+ab+2b+2ab=1+a+b+ab$
$\Leftrightarrow 1=b+2ab$
Áp dụng AM-GM ta có:
$\Leftrightarrow 1=b+2ab=b+2ab\geq 2\sqrt{2ab^2}$
$\Leftrightarrow ab^2\leq \frac{1}{8}$ ($\frac{1}{8}$ nhé bạn)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=0,5
Tiếp tục áp dụng AM-GM ta có:
$1=b+ab+ab\geq 3\sqrt[3]{a^2b^3}$
$\Leftrightarrow a^2b^3\leq \frac{1}{27}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=1, b=\frac{1}{3}$

[Math Is Love]

1 :Ta có $ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3} \leq 3$
Ap' dụng BDT Cauchy-Schwar ta có
A = $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2}{ab+bc+ac} \geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}} + \frac{2007}{ab+bc+ac}$ $\geq 1+669 = 670$ (đpcm)

Bạn làm vậy chưa được rồi. Cho mình hỏi nếu:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{ab +bc+ca}\geqslant \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$
thì dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{2}{ab +bc+ca}$
thì a=b=c=1 làm sao được?

[ckuoj1]

Bạn làm vậy chưa được rồi. Cho mình hỏi nếu:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2}{ab +bc+ca}\geqslant \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$
thì dấu bằng xảy ra khi $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{2}{ab +bc+ca}$
thì a=b=c=1 làm sao được?

ko, mik áp dụng cho 3 số $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ , $\frac{1}{ab+bc+ac}$ , $\frac{1}{ab+bc+ac}$. Khi đó có xảy ra dâu bằng chứ bạn

[DOTOANNANG]

1. Cho a,b,c dương và a+ b + c $\leq$ 3
Chứng minh :
$$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2009}{ab + bc + ca}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ 2009. \frac{1}{ab + bc + ca}\geq 670. \frac{1}{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}+ 1340. \frac{1}{ab+ bc+ ca}\geq \frac{2010^{2}}{670. a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ 1340. ab+ bc+ ca}= \frac{2010^{2}}{670\left ( a+ b+ c \right )^{2}}= \frac{2010}{3}= 670$$

2. Cho a > 0; b > 0 và $a^{2} + 2b^{2}\leq 3c^{2}$
Chứng minh :
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geqslant \frac{3}{c}$

3. Cho a,b >0, và $$\frac{a}{1+ a} + \frac{2b}{1+ b} = 1\Leftrightarrow \frac{a}{1+ a}+ \frac{b}{1+ b}+ \frac{b}{1+ b}= 1- \frac{1}{1+ a}+ 1- \frac{1}{1+ b}+ 1- \frac{1}{1+ b}\leq 3- \frac{9}{1+ a+ 1+ b+ 1+ b}\Leftrightarrow \frac{9}{1+ a+ 1+ b+ 1+ b}\geq 2$$
a. Chứng minh : $ab^{2} \leq \frac{1}{16}$
b. Chứng minh : $a^{2}b^{3} \leq \frac{1}{27}$

4. Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc +ca
Chứng minh :
$\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$

5.Cho n = $\overline{xy}$ . gọi M = $\frac{n}{x+y}$
tìm n để M nhỏ nhất

3. Ta có:

 

$\frac{a}{1+ a} + \frac{2b}{1+ b} = 1\Leftrightarrow \frac{a}{1+ a}+ \frac{b}{1+ b}+ \frac{b}{1+ b}= 1- \frac{1}{1+ a}+ 1- \frac{1}{1+ b}+ 1- \frac{1}{1+ b}\leq 3- \frac{9}{1+ a+ 1+ b+ 1+ b}\Leftrightarrow \frac{9}{1+ a+ 1+ b+ 1+ b}\geq 2$

Áp dụng AM- GM, ta được $ab^{2}\leq \frac{1}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 28-01-2018 - 13:51

[DOTOANNANG]

1. Cho a,b,c dương và a+ b + c $\leq$ 3
Chứng minh :
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2009}{ab + bc + ca}\geqslant 670$

2. Cho a > 0; b > 0 và $a^{2} + 2b^{2}\leq 3c^{2}$
Chứng minh :
$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \geqslant \frac{3}{c}$

3. Cho a,b >0, và $\frac{a}{1+a} + \frac{2b}{1+b} = 1$
a. Chứng minh : $ab^{2} \leq \frac{1}{16}$
b. Chứng minh : $a^{2}b^{3} \leq \frac{1}{27}$

4. Cho a,b,c >0 và abc = ab + bc +ca
Chứng minh :
$\frac{1}{a+2b+3c} + \frac{1}{2a+3b+c} + \frac{1}{3a+b+2c} < \frac{3}{16}$

5.Cho n = $\overline{xy}$ . gọi M = $\frac{n}{x+y}$
tìm n để M nhỏ nhất

1. Ta có: $ \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{2009}{ab + bc + ca}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ 2009. \frac{1}{ab + bc + ca}\geq 670. \frac{1}{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}}+ 1340. \frac{1}{ab+ bc+ ca}\geq \frac{2010^{2}}{670. a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ 1340. ab+ bc+ ca}= \frac{2010^{2}}{670\left ( a+ b+ c \right )^{2}}= \frac{2010}{3}= 670$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 28-01-2018 - 13:45