Cho tam giác $ABC$ có các cạnh lần lượt là $a,b,c$, các đường phân giác $AA',BB',CC'$. Đặt $B'C' = a_1, C'A'= b_1, A'B' = c_1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{(a+b)^2a_1b_1}{16S^2} \geq 1.$$
$\sum \dfrac{(a+b)^2a_1b_1}{16S^2} \geq 1.$
#1
Đã gửi 13-10-2005 - 18:02
- Zaraki, diepviennhi, bangbang1412 và 9 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 07-01-2014 - 09:13
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 8/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:44
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#3
Đã gửi 11-01-2014 - 14:51
Ta có $\frac {AC'}{AB}=\frac{AC}{AC+BC} \Rightarrow AC' = \frac {bc}{a+b}$
Tương tự $AB'=\frac {bc}{c+a}$
Áp dụng định lý cosine cho tam giác $AB'C'$ ta được:
$$a_1^2=AC'^2+AB'^2-2AC'.AB'.\cos A \geq 2AC'AB'(1-\cos A)=\frac {2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}.2\sin^2 {\frac {A}{2}}=\frac {4bc(p-b)(p-c)} {(a+c)(a+b)}$$
Tương tự ta thu được các đánh giá với $b_1^2$ và $c_1^2$.
Bây giờ, áp dụng BĐT AM-GM cho vế trái của BĐT đã cho, ta sẽ chứng minh:
$$3. \sqrt[3] {(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2.a_1^2.b_1^2c_1^2} \geq 16S^2$$
Sử dụng các đánh giá ở trên, ta đưa về chứng minh
$$3. \sqrt[3] {64a^2b^2c^2(p-a)^2(p-b)^2(p-c)^2}\geq 16p(p-a)(p-b)(p-c)$$
$$\Leftrightarrow 27a^2b^2c^2 \geq 64 p^3(p-a)(p-b)(p-c)$$ (*)
Đặt $x=p-a,y=p-b,z=p-c$ thì $x,y,z > 0$ và
$$(*) \Leftrightarrow 27(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 \geq 64xyz(x+y+z)^3$$
Hiển nhiên đúng theo 2 BĐT quen thuộc sau
$$9(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$$
$$(xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z)$$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ABC$ là tam giác đều.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 11-01-2014 - 14:56
- perfectstrong, Zaraki, BlackSelena và 5 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh