Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \dfrac{(a+b)^2a_1b_1}{16S^2} \geq 1.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyennhatlinh_nkht

nguyennhatlinh_nkht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ có các cạnh lần lượt là $a,b,c$, các đường phân giác $AA',BB',CC'$. Đặt $B'C' = a_1, C'A'= b_1, A'B'  = c_1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

$$\sum \dfrac{(a+b)^2a_1b_1}{16S^2} \geq 1.$$

 


I will change the world

#2
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 8/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:44

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#3
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết

Ta có  $\frac {AC'}{AB}=\frac{AC}{AC+BC} \Rightarrow AC' = \frac {bc}{a+b}$

Tương tự $AB'=\frac {bc}{c+a}$

Áp dụng định lý cosine cho tam giác $AB'C'$ ta được:

$$a_1^2=AC'^2+AB'^2-2AC'.AB'.\cos A \geq 2AC'AB'(1-\cos A)=\frac {2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}.2\sin^2 {\frac {A}{2}}=\frac {4bc(p-b)(p-c)} {(a+c)(a+b)}$$

Tương tự ta thu được các đánh giá với $b_1^2$ và $c_1^2$.

Bây giờ, áp dụng BĐT AM-GM cho vế trái của BĐT đã cho, ta sẽ chứng minh:

$$3. \sqrt[3] {(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2.a_1^2.b_1^2c_1^2} \geq 16S^2$$

Sử dụng các đánh giá ở trên, ta đưa về chứng minh

$$3. \sqrt[3] {64a^2b^2c^2(p-a)^2(p-b)^2(p-c)^2}\geq 16p(p-a)(p-b)(p-c)$$

$$\Leftrightarrow 27a^2b^2c^2 \geq 64 p^3(p-a)(p-b)(p-c)$$ (*)

Đặt $x=p-a,y=p-b,z=p-c$ thì $x,y,z > 0$ và

$$(*) \Leftrightarrow 27(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 \geq 64xyz(x+y+z)^3$$

Hiển nhiên đúng theo 2 BĐT quen thuộc sau

$$9(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$$

$$(xy+yz+zx)^2 \geq 3xyz(x+y+z)$$

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ABC$ là tam giác đều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 11-01-2014 - 14:56





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh