Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán PTNK-ĐHQG TP.HCM 2012-2013
#21
Đã gửi 08-06-2012 - 13:52
tỉ lệ AM/AB=CN/CB
suy ra BM/AB=BN/BC
suy ra MN // AC
suy ra MN = AC.(a-x)
MP//NQ//BD
suy ra MNPQ là hình chữ nhật
Do MP//DB
suy ra MP = DB.x
Diện tích MNPQ = S = AC.BD.x.(a-x)
= 2a2(ax-x2)
= 2a2(a2/4 - a2/4 + 2.a/2.x - x2)
= 2a2[a2/4 - (x-a/2)2]
S max khi (x-a/2)2 min
suy ra x=a/2
MNPQ là hình vuông
#22
Đã gửi 08-06-2012 - 14:10
#23
Đã gửi 08-06-2012 - 17:31
Bạn thiếu mất nghiệm (2;2;2) rồibài 1 (1) mình ra tận 7 nghiệm (x,y,z) = (0,0,0) (1,1,0) (1,0,1)(0,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1)
- kevinkernpham yêu thích
#24
Đã gửi 08-06-2012 - 17:49
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#25
Đã gửi 10-06-2012 - 19:55
#26
Đã gửi 12-06-2012 - 17:49
Chỗ này sai rồiKhông cần dài vậy đâu
$1+p^2+p^4=6p^3+8$
VP chia hết cho 2 nên VT phải là số chẵn => $p^2+p^4$ là số lẻ
Nếu p=2 => VT lẻ
$ p \ge 3$=> VT lẻ
Vậy không có số p nào thõa
VP thiếu 1 đơn vị
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#27
Đã gửi 12-06-2012 - 19:45
S={(0,0,0) (1,1,0) (1,0,1)(0,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) (2,2,2)}
#28
Đã gửi 12-06-2012 - 20:13
Coi như là mình thi ở TP.HCM thì bài làm của mình như sau:Câu I:
1) Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}
{(x - y)^2} = 2z - {z^2}\\
{(y - z)^2} = 2x - {x^2}\\
{(z - x)^2} = 2y - {y^2}
\end{array} \right.\]
2) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên cạnh AB và BC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CB}=x$ với $0<x<1$. Các đường thẳng qua $M,N$ song song với BD lần lượt cắt AD tại Q và CD tại P. Tính diện tích tứ giác $MNPQ$ theo $a$ và $x$ và tìm x sao cho diện tích này lớn nhất.
Câu II: Số nguyên dương $n$ được gọi là số điều hòa nếu như tổng các bình phương của các ước dương của nó (kể cả 1 và n) đúng bằng $(n+3)^2$.
a) Chứng minh rằng số 287 là số điều hòa.
b) Chứng minh rằng số $n=p^3$ (p nguyên tố) không phải là số điều hòa.
c) Chứng minh rằng nếu số $n=pq$ (p,q là các số nguyên tố khác nhau) là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương.
Câu III:
a) Tìm giá trị $x\in R$ thỏa mãn $x^2-5x+4+2\sqrt{x-1}\geq 0$
b) Chứng minh rằng với các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Ta có bất đẳng thức $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$$
Câu IV: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B ta lấy điểm D di động cùng phía với C đối với đường thẳng AB.
a) Chứng minh rằng nếu $AC+BD<CD$ thì trên cạnh AB tồn tại hai điểm $M,N$ sao cho $\widehat{CMD}=\widehat{CND}=90^0$
b) Giả sử điều kiện trên được thỏa mãn. Đường thẳng qua A song song với MD cắt đường thẳng qua B song song với MC tại E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Câu V: Cho đa giác đều n cạnh. Dùng 3 màu xanh,đỏ, vàng tô màu các đỉnh đa giác một cách tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu). Cho phép thực hiện thao tác sau đây: chọn hai đỉnh kề nhau bất kì (nghĩa là hai đỉnh liên tiếp) khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại.
a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu.
b) Chứng minh rằng với $n=4$ và $n=8$, bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta có thể làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi một màu.
Câu 1:
1)
Từ hệ phương trình ta có:
$$(x-y)^2-(y-z)^2=(2z-z^2)-(2x-x^2)$$
$$\Leftrightarrow (x-z)(x+z-2y)=(x-z)(x+z-2)$$
$$\Leftrightarrow 2(x-z)(y-1)=0$$
$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=z\\
y=1
\end{bmatrix}$$
Xét $x=z$ ta được:
$$y(2-y)=2y-y^2=(z-x)^2=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
y=0\\
y=2
\end{bmatrix}$$
+Nếu $y=0$ thì do $x=z$ và $(x-y)^2=2z-z^2$ suy ra $z^2= 2z-z^2 \Leftrightarrow z(z-1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
z=0\\
z=1
\end{bmatrix}$
Do đó ta tìm được $(x,y,z)=(0,0,0);(1,0,1)$
Thử lại thấy thỏa mãn
+Nếu $y=2$ thì do $x=z$ và $(x-y)^2=2z-z^2$ suy ra $(z-2)^2=2z-z^2\Leftrightarrow (z-1)(z-2)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
z=1\\
z=2
\end{bmatrix}$
Do đó ta tìm được $(x,y,z)=(1,2,1);(2,2,2)$
Thử lại thấy thỏa mãn
Xét $y=1$
Vì $(z-x)^2=2y-y^2$ nên $(z-x)^2=1$ hay $x-z=1$ hoặc $x-z=-1$
+Nếu $x-z=1$, do $(x-y)^2 = 2z-z^2$ suy ra $z^2=2z-z^20 \Leftrightarrow z(z-1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
z=0\\
z=1
\end{bmatrix}$
Do đó ta tìm được $(x,y,z)=(1,1,0);(2,1,1)$
Thử lại thấy thỏa mãn
+Nếu $x-z=-1$, do $(x-y)^2 = 2z-z^2$ suy ra $(z-2)^2=2z-z^2 \Leftrightarrow (z-1)(z-2)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix}
z=1\\
z=2
\end{bmatrix}$
Do đó ta tìm được $(x,y,z)=(0,1,1);(1,1,2)$
Thử lại thấy thỏa mãn
Tóm lại hệ phương trình đã cho có 8 nghiệm:
$$(x,y,z)=(0,0,0);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,0);(1,1,2);(1,2,1);(2,1,1);(2,2,2)$$
2)
(Xin phép không vẽ hình vì vừa cài lại windows)
Từ giả thiết ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CB}=x \to AM=CN=ax \to BM=BN=a-ax$
Do $QM$ song song với $BD$
Suy ra $\frac{AM}{AB}=\frac{AQ}{AD}$ suy ra $AM=AQ=ax \to DQ=a-ax$
CMTT ta có được $AM=AQ=CN=CP=ax$ và $BN=BM=DQ=DP=a-ax$
Vì $\Delta AMQ,\Delta MBN,\Delta NCP,\Delta PDQ$ lần lượt vuông tại $A,B,C,D$
Suy ra:
$$S_{MNPQ}=S_{ABCD}-S_{AMQ}-S_{MBN}-S_{NCP}-S_{PDQ}$$
$$=a^2-\frac{a^2x^2+(a-ax)^2+a^2x^2+(a-ax)^2}{2}$$
$$=a^2-(a^2x^2+(a-ax)^2)$$
$$=a^2-a^2(x^2+(1-x)^2)$$
$$=a^2x(1-x)$$
$$\leq a^2.\frac{(x+1-x)^2}{4}$$
$$=\frac{a^2}{4}$$
Vậy $S_{MNPQ} max=\frac{a^2}{4} \Leftrightarrow x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow $ tứ giác $MNPQ$ là hình vuông
Câu 2:
a) Vì $287=7.41$
Suy ra tổng các bình phương của các ước dương của 287 là $1^2+7^2+41^2+287^2=84100$
Mà $(287+3)^2=290^2=84100$
Suy ra $287$ là một số điều hòa
b) Khi $n=p^3$ ($p$ là số nguyên tố)
Suy ra các ước dương của $n$ là $1,p,p^2,p^3$
Suy ra tổng bình phương các ước dương của $n$ là $1+p^2+p^4+p^6$
Giả sử $n$ là số điều hòa
Khi đó
$$1+p^2+p^4+p^6=(p^3+3)^2$$
$$ \Leftrightarrow (p+1)(p^3-7p^2+8p-8)=0$$
Vì $p$ là số nguyên tố nên $p \geq 2$
Xét $p=2$ suy ra vô lý
Xét $p=3$ suy ra vô lý
Xét $p=4$ suy ra vô lý
Xét $p=5$ suy ra vô lý
Xét $p=6$ suy ra vô lý
Xét $p \geq 7$ suy ra
$p+2>0$ và $p^3-7p^2+8p-8=p^2(p-7)+8(p-1)>0$ suy ra vô lí
Tóm lại không tồn tại $p$ nguyên tố thỏa mãn hay $n=p^3$ không là số điều hòa
3) Nếu $n=pq$ ($p,q$ là các số nguyên tố khác nhau)
Suy ra các ước dương của $n$ là $1,p,q,pq$
Suy ra tổng bình phương các ước dương của $n$ là $1+p^2+q^2+p^2q^2$
Do $n$ là số điều hòa
Suy ra $1+p^2+q^2+p^2q^2=(qp+3)^2$
Hay $p^2+q^2=6pq+8$
Suy ra $p^2+q^2$ chẵn
Suy ra $p$ và $q$ cùng tính chẵn lẻ
Vậy $4(n+2)=4(pq+2)=4pq+8=(p-q)^2$
Hay $n+2=(\frac{p-q}{2})^2$
Vì $p,q$ là các số nguyên tố khác nhau và cùng tính chẵn lẻ
Suy ra $p-q$ chia hết cho 2
Vậy $n+2$ là số chính phương
Câu 3:
1) ĐKXĐ: $x \geq 1$
Ta có:
$$x^2-5x+4+2\sqrt{x-1}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)(x-4)+2\sqrt{x-1} \geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}(\sqrt{x-1}(x-4)+2) \geq 0 (*)$$
Nếu $x=1$ thì BĐT luôn đúng
Nếu $x>1$ ta được
$$(*) \Leftrightarrow \sqrt{x-1}(x-4)+2 \geq 0$$
$$\Leftrightarrow 2 \geq \sqrt{x-1}(4-x) \, \, \, (1)$$
Xét $4-x<0$ hay $x>4$ thì BĐT luôn đúng
Xét $4-x \geq 0$ hay $ x \leq 4$ suy ra hai vế của $(1)$ đều không âm
Suy ra
$$(1) \Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(4-x)^2$$
$$\Leftrightarrow (x-5)(x-2)^2 \leq 0$$
$$\Leftrightarrow x \leq 5$$
Vì $x \leq 4$ nên BĐT này luôn đúng
Tóm lại, với mọi $x \geq 1$ thì BĐT luôn đúng
2)
Ta có:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$$
$$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2( ab+bc+ac)$$
$$\Leftrightarrow 9-2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq (a+b+c)^2- 2( ab+bc+ac)$$
$$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2 \geq 9$$
Ta có:
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2 \geq 3a$
$\sqrt{b}+\sqrt{a}+b^2 \geq 3b$
$\sqrt{c}+\sqrt{a}+c^2 \geq 3c$
Từ đó suy ra
$$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2 \geq 3(a+b+c) =9$$
Suy ra đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 12-06-2012 - 21:12
- perfectstrong, Ispectorgadget, L Lawliet và 6 người khác yêu thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#29
Đã gửi 18-06-2012 - 10:42
File gửi kèm
- nghiemthanhbach yêu thích
#30
Đã gửi 04-02-2014 - 11:04
Câu 2 b mình ko pít làm!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nidalee Teemo: 04-02-2014 - 11:06
#31
Đã gửi 04-02-2014 - 11:12
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nidalee Teemo: 04-02-2014 - 11:20
#32
Đã gửi 09-04-2014 - 16:24
đáp án của thầy Nguyễn Tăng Vũ (không chính thức). Nguồn mathscope
" không chính thức " nghĩa là sao anh?
p.s:
#33
Đã gửi 09-04-2014 - 18:42
" không chính thức " nghĩa là sao anh?
p.s:
Tại thầy ghi thế thôi bạn.
#34
Đã gửi 09-06-2014 - 13:06
=)) Sao bài 1 mình làm ra tới 7 nghiệm
8 nghiệm lận bạn
#35
Đã gửi 13-06-2014 - 10:37
ĐỀ: THTT tháng 9 năm 2013
ĐÁP ÁN: THTT tháng 10 năm 2013
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh