Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình: $$4^x-2^x{\log_2}(x+1)={log_2}(2x+2)$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Buimanhtuyen

Buimanhtuyen

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
$4^x-2^x{\log_2}(x+1)={log_2}(2x+2)$
------
Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.

#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

$4^x-2^x{\log_2}(x+1)={log_2}(2x+2)$


Điều kiện: $x > - 1$. Phương trình trở thành:
\[{4^x} - {2^x}{\log _2}\left( {x + 1} \right) = {\log _2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right] \Leftrightarrow {4^x} - {2^x}{\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 1 = 0\]
Đặt $t = {2^x} > 0$, khi đó ta được:
\[{t^2} - {\log _2}\left( {x + 1} \right)t - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - 1 = 0\]
Phương trình trên có: $\Delta = \log _2^2\left( {x + 1} \right) + 4{\log _2}\left( {x + 1} \right) + 4 = {\left[ {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) + 2} \right]^2}$

Suy ra: \[\left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) - \left[ {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) + 2} \right]}}{2} = - 1\,\,\,\left( \text{loại} \right)\\
t = \frac{{{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) + \left[ {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right) + 2} \right]}}{2} = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {2^x} = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1\]

Đặt $y = {\log _2}\left( {x + 1} \right) \Rightarrow x + 1 = {2^y}$. Khi đó ta được hệ phương trình đối xứng:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{2^x} = y + 1\\
{2^y} = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow {2^x} - {2^y} = y - x\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Đến đây ta có hai hướng giải cho phương trình $(1)$.

Hướng 1: Dùng phương pháp đánh giá.

Nếu $x > y$ thì $VT > 0,VP < 0\,\,\,\,\left( \text{vô lí} \right)$

Nếu $x < y$ thì $VT < 0,VP > 0\,\,\,\,\left( \text{vô lí} \right)$

Do đó: $x = y \Leftrightarrow {2^x} = x + 1 \Leftrightarrow x = \left\{ {0;1} \right\}$

Hướng 2: Dùng hàm số.

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^x} + x = {2^y} + y \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right),\,\,\,f\left( t \right) = {2^t} + t\]
Dễ thấy hàm $f$ đơn điệu tăng, suy ra: $x = y$. Quay lại hướng 1.

-----

Bàn thêm: Ta cũng có thể dùng hàm số ngay từ đầu đối với phương trình ${2^x} = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1$. Các bạn thử làm nhé!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh