Chủ đề này có 26 trả lời

[Crystal]

bạn ơi xem lại định nghĩa về GTNN GTLN đi $p\geqslant k$ với k là hằng số cơ mà nói chung làm thế sai rùi đó $2\sqrt{xy}$ không phải là hằng số

Mình cần xem lại à? Đã tìm được $x=y=1=const$ thì $2\sqrt{xy}$ có là hằng số không bạn?

[hhhntt]

Mình cần xem lại à? Đã tìm được $x=y=1=const$ thì $2\sqrt{xy}$ có là hằng số không bạn?

chả lẽ $\sqrt{xy}\geqslant 3-(\sqrt{x}+\sqrt{y})=1$ thay x=y=1 thì tìm được Min của $\sqrt{xy}$ theo cách mình làm thì $\sqrt{x}+\sqrt{y}\geqslant 2$ thì làm sao đó bạn xem lại giùm mình nha

[Ha Manh Huu]

Đề năm nay câu 4 khó nhất nhỉ @_^)

Trước hết ta đơn giản biểu thức $Q$ trước đã
 

$Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$=\frac{1}{1+c}+\frac{ab+abc-c-1}{(1+a)(1+b)(1+c)}$

$=\frac{1}{1+c}+\left(\frac{ab-1}{(1+a)(1+b)}+1\right)-1$

$=\frac{1}{1+c}+\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-1$

$=\frac{1}{1+c}+\frac{b}{1+b}-\frac{1}{1+a}$

Ta xử lý giả thiết

Từ $\ \ c \geq b+1$ và $\ \ a+b \geq c$ suy ra $\ \ a+b \geq b+1$ kéo theo $\ \ b\geq a\geq 1$

* Trường hợp : $\ \ \ \ b \geq 2$

Do $\ \ a+b \geq c$ nên $\ \ Q \geq \frac{1}{1+a+b}+\frac{b}{1+b}-\frac{1}{1+a}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b}$

Vì $\ \ b \geq 2$ ta có $\ \ \frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b} \geq \frac{2}{3}-\frac{a+2}{a+3}$

Suy ra $\ \ Q \geq \frac{2}{3}+\frac{a}{1+a}-\frac{a+2}{a+3}=\frac{(a-1)(a+5)}{4(a+1)(a+3)}+\frac{5}{12} \geq \frac{5}{12}$

* Trường hợp : $\ \ \ \ b \leq 2$

Do $\ \ a+b \geq c$ kéo theo $\ \ Q \geq \frac{1}{1+c}+\frac{b}{1+b}-\frac{1}{1+c-b}$

Vì $\ \ c \geq 3$ nên $\ \ \frac{1}{1+c}-\frac{1}{1+c-b} \geq \frac{1}{4}-\frac{1}{4-b}$

Suy ra $\ \ Q \geq \frac{1}{4}+\frac{b}{1+b}-\frac{1}{4-b}=\frac{5}{6} \frac{(2-b)(b-1)}{(b+1)(4-b)}+\frac{5}{12} \geq \frac{5}{12}$

Vậy GTNN của $Q=\frac{5}{12}$ .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1 , b=2 , c=3$

 

cái đọc cuối em ko hiểu lắm sao b>=2 mà Vì $\ \ b \geq 2$ ta có $\ \ \frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b} \geq \frac{2}{3}-\frac{a+2}{a+3}$

ngược dấu thì phải

[Juliel]

Từ giả thiết suy ra $\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 3$

$x+y\geq 2\sqrt{xy}$ ; $2\sqrt{2(x+y)}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Do đó $x+y+2\sqrt{2(x+y)}\geq 2(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y})\geq 6$

Đặt $\sqrt{x+y}=t\geq 0$ ta có $t^{2}+2\sqrt{2}.t-6\geq 0\Leftrightarrow t\geq \sqrt{2} \Rightarrow x+y\geq 2$

Áp dụng BĐT Svac-xơ (Schawz) thì $P\geq x+y\geq 2$

Min P = 2 <=> x = y = 1

[Juliel]

Do $x=y=1$ như đã chứng minh ở trên khi dấu "=" xảy ra đó bạn.

Sao như vậy được, phải tìm min trước sau đó mới tìm giá trị của biến để min xảy ra, nếu tìm giá trị của biến trước sau đó thay vào để tìm min là sai !

[etucgnaohtn]

 

$2)$ Giả sử $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

Câu này em có cách new !

Áp dụng bđt Côsi ta có : $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq 2\sqrt{xy}$

Nên $\frac{P}{2}\geq \sqrt{xy}$ $(*)$

Áp dụng bđt Cauchy SchwarZzz ta có  : $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq \frac{(x+y)^2}{x+y}=x+y$ $\geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}$

Nên $\sqrt{\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}}\geq \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{2}}$ hay $\sqrt{2P}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ $(1)$

Lại có $\sqrt{2P}\leq \frac{P+2}{2}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\frac{P+2}{2}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ $(**)$

Lấy $(*)$ cộng $(**)$ ta được $P+1\geq \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}$ $(a)$

Giả thiết cho $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4\rightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq 3$ $(b)$

Từ $(a)$ và $(b)$ ta có : $P+1\geq 3\rightarrow P\geq 2$

Vậy $Pmin=2\Leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 01-06-2013 - 17:28

[phuc_90]

cái đọc cuối em ko hiểu lắm sao b>=2 mà Vì $\ \ b \geq 2$ ta có $\ \ \frac{b}{1+b}-\frac{a+b}{1+a+b} \geq \frac{2}{3}-\frac{a+2}{a+3}$

ngược dấu thì phải

Không có ngược dấu đâu bạn! Bạn tự kiểm tra được, chỉ cần biến đổi là ra thôi.