Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên ĐHV năm học 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1
ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán

Câu I: (1,5 điểm)
Giả sử $a$, $b$, $c$ là các số nguyên sao cho $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 4. Chứng minh rằng $a$, $b$, $c$ đồng thời chia hết cho 2.
Câu II: (1,5 điểm)
Giải phương trình:

$$x^4+\left | 2x^{2}-3 \right |-2=0$$
Câu III: (1 điểm)
Tìm các số dương $p$, $q$, $r$ sao cho: $(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr$
Câu IV: (1 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 20(x+y)=9xy & \\ 30(y+z)=11yz & \\ 12(z+x)=5zx \end{matrix}\right.$$
Câu V: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng: $\frac{1}{2\sqrt{1}}+ \frac{1}{3\sqrt{2}}+ ...+ \frac{1}{2013\sqrt{2012}} < 2$
Câu VI: (3,5 điểm)
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc $(O)$ sao cho $CA > CB$. Các tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $D$. Vẽ hình bình hành $BODE$.
1) Chứng minh rằng 3 điểm $B$, $C$, $E$ thẳng hàng.
2) Gọi $F$ là giao điểm của $AE$ và $OD$; $H$ là giao điểm của $OE$ và $CD$. Chứng minh $HF$ song song với $AC$.
3) Chứng minh rằng ba đường thẳng $OC$, $DE$, $HF$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-06-2012 - 09:06

Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#2
ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
Chém cái bài mình làm ngất nhất:
Câu V: Xét cong thức tổng quát$\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{n(n+1)} = \sqrt{n} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} ) = \sqrt{n} (\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$ = $(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}) < 2 (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})$
Ap' dụng vào bài toán ta có :
$\frac{1}{2\sqrt{1}} < 2(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$
$\frac{1}{3\sqrt{2}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})$
...............
$\frac{1}{2013\sqrt{2012}} < 2(\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}})$
----> VT < 2( 1- $\frac{1}{\sqrt{2013}} < 2$ Q.E.D
----------------------------------------
huhuhu, cái bài này ra khỏi phòng thi là nhớ ra ngay, thế mà khi ngồi trong đó mình nghĩ cái gì thế không biết. Đến đoạn gần cuối rồi mà còn làm sai, ngu quá.:(
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#3
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Câu I: (1,5 điểm)
Giả sử $a$, $b$, $c$ là các số nguyên sao cho $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 4. Chứng minh rằng $a$, $b$, $c$ đồng thời chia hết cho 2.

Chém thử bài này :P
  • Nếu tổng trên có 3 số chia đều cho 4 dư 0 thì ta có điều phải chứng minh
  • Nếu tổng trên có 1 số chia cho 4 không hết, 2 số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó có số dư sẽ là 1 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 2 số chia cho 4 không hết, số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 2 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 3 đều số chia cho 4 không hết thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 3 (vô lí!) (loại)
P/s: Học số học yếu nên trình bày không hay cho lắm :(
@ckuoj1: Đề chuyên hay không chuyên vậy cậu?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 10-06-2012 - 20:06

Thích ngủ.


#4
ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

Chém thử bài này :P

  • Nếu tổng trên có 3 số chia đều cho 4 dư 0 thì ta có điều phải chứng minh
  • Nếu tổng trên có 1 số chia cho 4 không hết, 2 số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó có số dư sẽ là 1 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 2 số chia cho 4 không hết, số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 2 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 3 đều số chia cho 4 không hết thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 3 (vô lí!) (loại)
P/s: Học số học yếu nên trình bày không hay cho lắm :(
@ckuoj1: Đề chuyên hay không chuyên vậy cậu?


đề chuyên vòng 2, đề bộ năm nay xơi ngon hơn năm trước nhiều. :D
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#5
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
câu 4
TH1: giả sử 1 trong 3 số =0, dễ dàng tìm được 2 nghiệm con lại
TH2: x,y,z $\neq$ 0
chia 3 pt lần lượt cho xy,yz,zx. Đến đây các bạn dễ dàng đặt ẩn và giải

#6
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Câu IV: (1 điểm)

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} 20(x+y)=9xy & \\ 30(y+z)=11yz & \\ 12(z+x)=5zx \end{matrix}\right.$$

Nhận thấy $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ, ta xét trường hợp $x$, $y$, $z$ khác 0
$$\left\{\begin{matrix} 20(x+y)=9xy & \\ 30(y+z)=11yz & \\ 12(z+x)=5zx \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{20(x+y)}{xy}=9 & \\ \frac{30(y+z)}{yz}=11 & \\ \frac{12(z+x)}{z+x}=5 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{20}{x}+\frac{20}{y}=9 & \\ \frac{30}{y}+\frac{30}{z}=11 & \\ \frac{12}{z}+\frac{12}{x}=5 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{60}{x}+\frac{60}{y}=27 & \\ \frac{60}{y}+\frac{60}{z}=22 & \\ \frac{60}{z}+\frac{60}{x}=25 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{60}{x}=15 & \\ \frac{60}{y}=12 & \\ \frac{60}{z}=10 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=5 & \\ z=6 \end{matrix}\right.$$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y;z)$ là $(0;0;0)$, $(4;5;6)$

Thích ngủ.


#7
Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
Đề vòng 2 đâu có khó làm xong những tiếng rưỡi có cần mình post đề vòng 1 không, hình vòng 1 hay hơn

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#8
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Câu III: (1 điểm)

Tìm các số dương $p$, $q$, $r$ sao cho: $(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr$

Vì $p$, $q$, $r$ là số dương nên$p$, $q$, $r$ khác 0 khi đó:
$$PT\Leftrightarrow \frac{p^2+1}{p}.\frac{q^2+4}{q}.\frac{r^2+9}{r}=48$$
Mà $48=1.6.8=2.4.6=4.4.3$
Đây là phương trình ước số quen thuộc
Mình nhẩm được 1 cặp nghiệm (chắc là duy nhất)
$$(p;q;r)=(1;2;3)$$

Đề vòng 2 đâu có khó làm xong những tiếng rưỡi có cần mình post đề vòng 1 không, hình vòng 1 hay hơn


Không spam vậy nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 11-06-2012 - 11:31

Thích ngủ.


#9
daovuquang

daovuquang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 194 Bài viết

Câu III: (1 điểm)
Tìm các số dương $p$, $q$, $r$ sao cho: $(p^2+1)(q^2+4)(r^2+9)=48pqr$

Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có: $p^2+1\geq 2p; q^2+4\geq 4q; r^2+9\geq 6r.$
$\Rightarrow VT\geq VP.$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow (p;q;r)=(1;2;3).$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daovuquang: 15-06-2012 - 19:27


#10
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Chém thử bài này :P

  • Nếu tổng trên có 3 số chia đều cho 4 dư 0 thì ta có điều phải chứng minh
  • Nếu tổng trên có 1 số chia cho 4 không hết, 2 số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó có số dư sẽ là 1 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 2 số chia cho 4 không hết, số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 2 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 3 đều số chia cho 4 không hết thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 3 (vô lí!) (loại)
P/s: Học số học yếu nên trình bày không hay cho lắm :(
@ckuoj1: Đề chuyên hay không chuyên vậy cậu?

Cái này không cần xét TH đâu anh, chỉ cần tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ thôi là done hết.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#11
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Cái này không cần xét TH đâu anh, chỉ cần tính chất $a^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ thôi là done hết.

Anh định xét mà nghĩ phải CM nữa nên thôi, tks em nhé :D

Thích ngủ.


#12
Tran Hong Tho

Tran Hong Tho

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên năm học 2012 - 2013

Môn thi: Toán

Câu I: (1,5 điểm)
Giả sử $a$, $b$, $c$ là các số nguyên sao cho $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 4. Chứng minh rằng $a$, $b$, $c$ đồng thời chia hết cho 2.

bài này xét 4 TH
TH1: a,b,c là số lẻ $\Rightarrow$ a2,b2,c2 không chia hết cho 2 suy ra tổng đó không chia hết cho 2( tổng 3 số lẻ là 1 số lẻ) $\Rightarrow$ tổng đó không chia hết cho 4
TH2:2 trong 3 số không chia hết cho 2
giả sử a,b không chia hết cho 2
đặt a=2k+1,b=2m+1,c=2n (với m,n,k $\geqslant$ 0)
bình phương lên rồi + lại ko chia hết cho 4
TH3:1 trong 3 số không chia hết cho 2
đặt a=2k,b=2m+1,c=2n (với m,n,k $\geqslant$ 0)
bình phương lên rồi + lại ko chia hết cho 4
TH4: a,b,c chia hết cho 4 (tự chứng minh)
$\Rightarrow$ $a$, $b$, $c$ đồng thời chia hết cho 2

Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình :D


#13
thuy9anamhong

thuy9anamhong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đề vòng 2 đâu có khó làm xong những tiếng rưỡi có cần mình post đề vòng 1 không, hình vòng 1 hay hơn

bạn post lên luôn đi bạn

#14
Tran Hong Tho

Tran Hong Tho

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết

Câu II: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
$$x^4+\left | 2x^{2}-3 \right |-2=0$$

xét 2 trường hợp
TH1: 2x^{2}-3 dương
không có nghiêm thỏa mãn
TH2: 2x^{2}-3 âm thay vào phương trình và giải ra ta được 2 nghiệm 1 và -1
$\Rightarrow$ nghiệm của phương trình là 1 và -1

Đừng sợ hãi khi phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà hãy vui mừng vì bạn đã có cơ hội để chiến đấu hết mình :D


#15
ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết

Chém thử bài này :P

  • Nếu tổng trên có 3 số chia đều cho 4 dư 0 thì ta có điều phải chứng minh
  • Nếu tổng trên có 1 số chia cho 4 không hết, 2 số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó có số dư sẽ là 1 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 2 số chia cho 4 không hết, số còn lại chia hết cho 4 thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 2 (vô lí!) (loại)
  • Nếu tổng trên có 3 đều số chia cho 4 không hết thì tổng đó chia cho 4 sẽ có số dư là 3 (vô lí!) (loại)
P/s: Học số học yếu nên trình bày không hay cho lắm :(
@ckuoj1: Đề chuyên hay không chuyên vậy cậu?


tớ cũng làm y đúc như vậy. Thế này cũng đúng m.n nhỉ
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#16
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

tớ cũng làm y đúc như vậy. Thế này cũng đúng m.n nhỉ

Chắc đúng đấy, nhưng nếu làm Mod như của Toàn thì hay hơn :P

Thích ngủ.


#17
Poseidont

Poseidont

    Dark Knight

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
Theo mình cứ làm modun trình bày cho nó gọn ( TH thi cũng vậy thôi đó là khi chưa biết đồng dư)
$a^2\equiv 0,1(mod4)$
$b^2\equiv 0,1(mod4)$
$c^2\equiv 0,1(mod4)$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\equiv 0,1,2,3(mod4)$
Mà $a^2+b^2+c^2\vdots 4$
Nên
$a^2\equiv 0(mod4)$: $b^2\equiv 0(mod4)$: $c^2\equiv 0(mod4)$ xảy ra đồng thời
$\Rightarrow a,b,c\vdots 2$
Bài hình có cần post không mọi ngươì

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 12-06-2012 - 08:54

Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF


#18
ckuoj1

ckuoj1

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 177 Bài viết
ai có hình post lên cái. Tớ ko post đk hình lên diễn đàn :D
Những người thông minh là những người biết bị thần kinh đúng lúc ^^

#19
congchuabuonHTAT

congchuabuonHTAT

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Nhận thấy $x=y=z=0$ là 1 nghiệm của hệ, ta xét trường hợp $x$, $y$, $z$ khác 0
$$\left\{\begin{matrix} 20(x+y)=9xy & \\ 30(y+z)=11yz & \\ 12(z+x)=5zx \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{20(x+y)}{xy}=9 & \\ \frac{30(y+z)}{yz}=11 & \\ \frac{12(z+x)}{z+x}=5 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{20}{x}+\frac{20}{y}=9 & \\ \frac{30}{y}+\frac{30}{z}=11 & \\ \frac{12}{z}+\frac{12}{x}=5 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{60}{x}+\frac{60}{y}=27 & \\ \frac{60}{y}+\frac{60}{z}=22 & \\ \frac{60}{z}+\frac{60}{x}=25 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{60}{x}=15 & \\ \frac{60}{y}=12 & \\ \frac{60}{z}=10 \end{matrix}\right.$$
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=5 & \\ z=6 \end{matrix}\right.$$
Vậy hệ có nghiệm $(x;y;z)$ là $(0;0;0)$, $(4;5;6)$

làm thế này nhanh hơn nè :
+t/h nghiệm (x;y;z)=(0;0;0)
+t/h x;y;z khác 0
từ 20(x+y)=9xy chia cả 2 vế của pt cho 20xy ta có pt tương đương :$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}= \frac{9}{20}$ (*)
từ 30(y+z)=11yz chia cả 2 vế của pt cho 30yz ta có pt tương đương :$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{30}$ (**)
từ 12(x+z)=5xz chia cả 2 vế của pt cho 12xz ta có pt tương đương :$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{5}{12}$ (***)
từ (*);(**)và (***) $\Rightarrow$ nghiệm của hệ pt (x;y;z) = (4;5;6)

công chúa buồn


Tự hào thành viên của VMF


#20
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

làm thế này nhanh hơn nè :
+t/h nghiệm (x;y;z)=(0;0;0)
+t/h x;y;z khác 0
từ 20(x+y)=9xy chia cả 2 vế của pt cho 20xy ta có pt tương đương :$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}= \frac{9}{20}$ (*)
từ 30(y+z)=11yz chia cả 2 vế của pt cho 30yz ta có pt tương đương :$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{30}$ (**)
từ 12(x+z)=5xz chia cả 2 vế của pt cho 12xz ta có pt tương đương :$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{5}{12}$ (***)
từ (*);(**)và (***) $\Rightarrow$ nghiệm của hệ pt (x;y;z) = (4;5;6)

Cách của bạn là cách làm của mình mà 8-|

Thích ngủ.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh