Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Giải bất phương trình: $$3\sqrt{3-x}+30+8x>6\sqrt{9-x^{2}}+9\sqrt{3+x}$$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải bất phương trình:
$$3\sqrt{3-x}+30+8x>6\sqrt{9-x^{2}}+9\sqrt{3+x}$$

Giải

ĐK: $-3 \leq x \leq 3$
Đặt:
$\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{3 - x} \geq 0\\b = \sqrt{3 + x} \geq 0\end{array}\right.$
Bất phương trình trở thành:
$3a + a^2 + 9b^2 > 6ab + 9b$

$\Leftrightarrow (a - 3b)^2 + 3(a - 3b) > 0$

$\Leftrightarrow (a - 3b)(a - 3b + 3) > 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a > 3b\\a < 3b - 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{3 - x} > 3 \sqrt{3 + x} \,\,\,\, (1)\\\sqrt{3 - x} + 3 < 3\sqrt{3 + x}\,\,\,\, (2)\end{array}\right.$

Ta có:
$(1) \Leftrightarrow 3 - x > 9(3 + x) \Leftrightarrow -10x > 24 $

$\Leftrightarrow x <\dfrac{-24}{10}$
Kết hợp với điều kiện, ta được: $-3 \leq x < \dfrac{-24}{10}$

Lại có:
$(2) \Leftrightarrow 3 - x + 9 + 6\sqrt{3 - x} < 9(3 + x)$

$\Leftrightarrow 6\sqrt{3 - x} < 15 + 10x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\36(3 - x) < 225 + 300x + 100x^2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\100x^2 + 336x + 117 > 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x > \dfrac{-15}{10}\\\left[\begin{array}{l} x > \dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}\\x < \dfrac{-84 - 9\sqrt{51}}{50}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow x > \dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}$

Kết hợp với điều kiện, ta được: $\dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50} < x \leq 3$

Vậy tập nghiệm của BPT là:
$T = [-3; \dfrac{-24}{10}) \cup (\dfrac{-84 + 9\sqrt{51}}{50}; 3]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 12-06-2012 - 09:54