Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

10 CÁCH ĐỂ NGHĨ NHƯ LÀ NHÀ TOÁN HỌC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 14-06-2012 - 15:39

10 CÁCH ĐỂ NGHĨ NHƯ LÀ NHÀ TOÁN HỌC


Hình đã gửi


Tác giả: Tiến sĩ Kevin Houston – Giảng viên Toán tại Đại học Leeds


Biên dịch: Võ Hoàng Trọng (hoangtrong2305)
Đỗ Thị Kiều Trang (Celia)








1. HÃY ĐẶT RA CÂU HỎI


Với tôi, một trong những vẻ đẹp vĩ đại và chân thực nhất của toán học là nó có thể được kiểm nghiệm tính đúng đắn.Bạn không cần phải nghe theo ai cả.Nếu có người cho rằng một điều nào đó là đúng, bạn có quyền yêu cầu họ chứng minh nó. Hơn nữa, nếu bạn muốn mình có suy nghĩ và hành động như một nhà toán học , thì bản thân bạn cũng có thể chứng minh tính đúng đắn của vấn đề đó. Đừng để họ qua mặt bạn!

Đứng trước lời nhận xét của một số người, bạn có thể không tin và cố tìm ra một trường hợp hay ví dụ chứng minh rằng nó sai.Kể cả khi điều đó đúng, thì lúc đó bạn cũng đã phải suy nghĩ, trí óc của bạn phải hoạt động , nói chung, dù bạn đúng hay sai thì hành động đó hoàn toàn có lợi cho việc rèn luyện trí óc của bạn.Và dần dần, bạn sẽ có những suy nghĩ tích cực hơn về những lời nhận xét của mọi người (lưu ý rằng bạn phải thật sự khôn khéo, vì trong thực tế,có những trường hợp bạn sẽ đánh mất tình bạn chỉ vì những lời phản bác đó, , mọi người sẽ có xu hướng không vui và không thích nói chuyện với bạn khi bạn cứ liên tục tìm lỗi sai của họ).

Một lá thư gửi đến 1 toà soạn báo, nói rằng việc làm ra một cỗ máy thời gian là không thể, họ lập luận như sau: Nếu như cỗ máy thời gian có thật, thì có thể 1 người nào đó sẽ được gặp rất nhiều người ở tương lai. Tôi có một vài lý do để cho thấy điều này là không thể, vì có thể cỗ máy thời gian chỉ cho ta tiến tới tương lai (với số năm mà ta muốn tiến tới), cũng có thể người du hành đến tương lai không thể liên lạc với chúng ta đang ở hiện tại, cũng có thể cỗ máy thời gian có phạm vi nhất định, bạn không thể quay về hơn 1 năm và cỗ máy thời gian ấy, vẫn phải nằm lại ở 1 năm nào đó rất xa (và cỗ máy thời gian ấy không thể được vận chuyển được nữa).





2. Viết thành câu


Viết thành câu? Điều đó có ích như thế nào để giúp bạn suy nghĩ và hành động như một nhà toán học? Có thể bạn sẽ thắc mắc.Câu từ là nòng cốt tạo nên lý lẽ. Một cấp độ cao hơn của toán học, lý lẽ là phần không thể thiếu trong việc chứng minh (không chỉ đơn thuần là đưa ra đáp số đúng).

Rất nhiều bạn học sinh không nhận ra sự cần thiết của câu từ,. Các bạn thường nói các câu đại loại như : “Em học đại học không phải để viết 1 bài luận ”, “Nhưng em trả lời đúng!”, hay là “Thầy biết em muốn nói gì mà”. Trước đây, học sinh có thể trình bày cả bộ sưu tập về những ký hiệu không có liên quan gì đến nhau và vẫn có điểm cao. Nhưng, nếu như bạn muốn hiểu toán và muốn biết sâu hơn, thì bạn phải cố gắng luyện tập viết thành câu, điều này sẽ có ảnh hưởng đến bạn, làm bạn suy nghĩ cẩn thận hơn về bài chứng minh của mình. Nếu như bạn không viết được thành câu hoàn chỉnh, thì bạn rất dễ mắc phải việc bạn không biết mình đang viết về cái gì. Vì vậy, viết thành câu là cơ hội tốt để phát triển, nâng cao kỹ năng toán của bạn, và nếu bạn viết tốt ở các môn học thì điều đó chính là chìa khoá hữu ích mà bạn có thể có được.

(Lưu ý: Một cách để giúp bạn phát triển kỹ năng viết và suy nghĩ của toán chính là việc biết cách sử dụng ký hiệu $\Rightarrow$)






3 .Thế còn các mệnh đề đảo ?


Cách trình bày dạng $A\Rightarrow B$ chính là mấu chốt quan trọng của toán học. Chúng ta có thể phát biểu dưới dạng ‘Nếu A đúng thì B đúng’

Mệnh đề đảo của cách trình bày '$A\Rightarrow B$' là '$B\Rightarrow A$'. Ví dụ, mệnh để đảo của








“Nếu tôi là Winston Churchill, thì tôi là người Anh”









“Nếu tôi là người Anh, thì tôi là Winston Churchill”


Ví dụ trên cho thấy, nếu như mệnh đề xuôi là đúng, thì không phải lúc nào mệnh đề đảo cũng đúng, nó có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Sự nghiên cứu luôn là cần thiết trước khi ta nói điều gì.

Một nhà toán học giỏi, khi trình bày dạng A suy ra B, thì họ sẽ hỏi: “Vậy điều ngược lại đúng chứ?”. Hãy tiếp thu câu hỏi này và biến nó trở thành một công cụ hữu ích khi làm toán. Cho dù mệnh đề đảo là đúng hay cũng chả mấy quan trọng vì những dạng bài tập đấy sẽ làm tăng khả sự nhạy bén của bạn khi học toán.

(Thêm nữa, một sai lầm lớn mà nhiều người mắc phải khi trình bày dạng $A\Rightarrow B$ là họ cho rằng nếu A sai thì B cũng sai. Điều đó không chính xác, cấu trúc trên chỉ trình bày điều gì xảy ra khi A đúng, nó không nói gì về việc điều gì sẽ xảy ra nếu A sai. Bây giờ, bạn hãy suy nghĩ như một nhà toán học và cho ra ví dụ.)






4. Sử dụng sự đối lập


Sự đối lập của mệnh đề ‘$A\Rightarrow B$’ là




Không (B) $\Rightarrow $ không (A)

Ví dụ:

* ‘Nếu tôi là Winston Churchill, thì tôi là người Anh’ có mệnh đề đối lập là ‘Nếu tôi không phải Winston Churchill, thì tôi không phải người Anh’.

* ‘Nếu tôi không phải người Mỹ tức là tôi không phải dân Texas’ có mệnh đề đối lập là ‘Nếu tôi là người Texas, thì tôi là người Mỹ’

* ‘$x^{2}-4x-5=0\Rightarrow x\geq 2$’ có mệnh đề đối là ‘$x<-2\Rightarrow x^{2}-4x-5=0$’

Khá ngẫu nhiên là mệnh đề đối lập đúng cũng tương đồng với mệnh đề $A\Rightarrow B$ đúng. Có nghĩa là, nếu $A\Rightarrow B$ là đúng, thì Không $(B)$ $\Rightarrow $ không $(A)$ cũng đúng và ngược lại. Bạn có thể kiểm chứng ở những ví dụ trên. Sẽ rất khó khi bạn mới bắt đầu làm quen với các mệnh đề - điều mà có nhiều người không tin. Thực ra, nó là kinh nghiệm nổi tiếng trong giáo dục được kết nối với ý tưởng mệnh đề đối lập, được gọi là thử thách trong sự lựa chọn của Wason (Wason’s selection task).Bạn hãy tìm hiểu phương pháp đó và thử xem bạn có vượt qua bài kiểm tra không nhé ! Có thể bạn chỉ trả lời được đúng 10% số câu hỏi thôi đấy.

Bởi vì việc sử dụng sự đối lập thường được dùng trong việc chứng minh, và vì trong cuộc sống chúng ta luôn có nhiều điều đối lập lẫn nhau nên bạn hãy học cách sử dụng sự đối lập thật tốt nhé !






5. Nghiên cứu các ví dụ một cách cẩn thận

Được áp dụng khi cho một định lý và các ví dụ đơn giản cũng như phức tạp về định lý đó vào trong giả thuyết. Chuyện gì sẽ xảy ra khi các số đặc biệt là $0$ hoặc $1$ ? Chuyện gì sẽ xảy ra nếu chúng ta lấy các hàm thông thường xác định bởi hàm $f(x)=0$ ? Chuyển gì sẽ xảy ra nếu chúng ta có $1$ tập rỗng ? Chuyện gì sẽ xảy ra khi chúng ta có $1$ dãy số thông thường như $1;1;1;1;1;1;.........$ ? Chuyện gì xảy ra với đường cong hay đường thẳng ?

Những ví dụ trên sẽ giúp ta hiểu rõ thêm về vấn đề. Nó đôi khi cũng giúp chúng ta mường tượng rõ hơn khi các định lý được áp dụng.

Một ví dụ đặc biệt được phát biểu như sau ‘$y=x^{2}$và $z=y^{2}$ thì $z\neq x$’. Dường như ví dụ trên đúng khi rõ ràng $y$ và $y^{2}$ khác nhau, nhưng điều đấy thật ra không đúng, giả sử $y=1$ thì lúc này ví dụ trên chỉ đúng khi $x=1$.

Hãy sử dụng trường hợp đặc biệt để cho thấy định lý sau đây sai :

‘Định lý’ : Giả sử $a, b, c$ và $d$ là các số nguyên, nếu $a.b=c.d$ và $a=c$ thì $b=d$

Để sử dụng những ví dụ đặc biệt thì bạn phải dùng đến rất nhiều ví dụ, nên bạn cần phải lựa chọn và có một chút "khéo tay". Một cách để làm được việc này là bạn hãy tưởng tượng bạn sẽ nói gì khi có người kêu bạn dậy vào lúc nửa đêm và nói "Nhanh lên, chuyện khẩn cấp đấy, hãy cho tôi 1 ví dụ thật tốt về tập $X’$ khi $X$ có thể là một vài phần của toán học như nhóm, không gian Vector, hàm số, ..... ".





Hình đã gửi



6. Hãy tạo ra một ví dụ cho riêng bạn.


Một nhà toán học thực thụ có thể tự tạo ra một ví dụ cho riêng mình, kể cả ví dụ đúng, ví dụ đặc biệt hay thậm chí không ví dụ gì cả ! Hãy nhìn vào những ví dụ đã có sẵn (như ví dụ về một quá trình, ví dụ về các bài toán đại số, ...). Đơn cử như cách trình bày cơ bản của bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Trước tiên, chúng ta xem xét liệu hàm số này có điểm gì đặc biệt, sau đó, chúng ta tìm những giá trị mà tại đó, đạo hàm của hàm số bằng không. Sau đó, chúng ta sẽ có $3$ loại giá trị khác nhau : cực đại, cực tiểu và điểm uốn. Điểm uốn được biểu diễn bằng đạo hàm cấp $2$ của hàm số đó và điểm uốn chính là nghiệm của phương trình đạo hàm cấp $2$ bằng không. Sau khi làm những ví dụ đó, chúng ta có hàm số, có các loại giá trị, có từng giá trị của mỗi loại giá trị., quá trình này thì dễ. Áp dụng vào hàm $f$ khác, hãy giải phương trình $f ’(x) = 0$, tính đạo hàm một lần nữa và giải $f ’’(x) = 0$ và dùng giá trị của $f ’’ (x)$ để tìm từng giá trị thích hợp.

Đó là cách thức cơ bản của việc sử dụng những ví dụ đã có. Nếu bạn biết được ví dụ đó thì khi cho bạn $1$ hàm số nào đó, bạn sẽ dễ dàng tìm cực đại và cực tiểu. Nhưng, giả sử tôi làm điều ngược lại, muốn bạn tìm $1$ hàm $f$ sao cho hàm số ấy đạt cực đại tại tại $x=2$ và đạt cực tiểu tại $x= -6$ ? Đây là cách kiểm tra khả năng hiểu của bạn. Nó khó hơn, nhưng nó sẽ là công cụ hỗ trợ rất nhiều trong việc học toán của bạn.






7. Khi nào các tính chất mới được sử dụng ?

Một số học sinh nói với tôi rằng, họ rất khó để hiểu được 1 bài chứng minh. Thực ra, các học sinh ấy mong muốn rằng bài chứng minh được viết 1 cách có logic và ngắn gọn để giúp cho học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về nội dung của định lý hay định lý ấy được khám phá như thế nào. Một học sinh bình thường, trước khi nhờ sự giúp đỡ thường nói : "Em còn không biết nên bắt đầu như thế nào ".

Vì vậy, để hiểu được bài chứng mình là phần khó nhất khi ta học toán, toán bộ chương $18$ của cuốn "Làm thế nào để nghĩ như một nhà toán học" dành cho những công thức khác nhau được giải quyết khi đọc bài chứng minh. Hãy tách nó ra, áp dụng bài chứng minh vào ví dụ, chúng ta sẽ xem xét các kỹ thuật sau đây.

Mỗi định lý thường có những tính chất. Ví dụ, định lý $Pitago$ có tính chất của tam giác vuông. Những tính chất này sẽ được dùng để chứng minh, còn các trường hợp khác thì đôi khi chúng không cần thiết cho lắm. Vì vậy, hãy chú ý đến vị trí sử dụng tính chất và từ đó bạn sẽ hiểu được bài chứng minh.

Một số tính chất đước cho dưới dạng ẩn. Ví dụ, có bài chứng minh nói rằng " .....bởi định lý $5.7$, chúng ta thấy.............. " và điều đó cho thấy rằng định lý $5.7$ được sử dụng để tạo ra tính chất của một định lý nào đó (Tiện thể, nếu định lý được lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều bài chứng minh, điều đó cho thấy tầm quan trọng và nhiều khả năng định lý ấy cũng được được sử dụng trong bài chứng minh của bạn, vì vậy, hãy nguyên cứu kỹ nhé !).

Bằng cách tìm hiểu về các tính chất, bạn sẽ biết cách bắt đầu bài chứng minh và nhìn cấu trúc nó như thế nào.






8. Hãy bắt đầu với mặt phức tạp.

Đó chính là một trong những mẹo của tôi trong việc chứng minh 2 vế của phương trình bằng nhau, Để chứng minh 2 vế của phương trình bằng nhau thì tốt nhất ta nên bắt đầu ở vế phức tạp hơn và bắt đầu biến đổi để cho bằng với vế còn lại của phương trình

Ví dụ, để chứng minh $\tan x+\cot x=2cosec 2x$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và có điều kiện $x\neq \frac{n\pi }{2}$ với $n \in \mathbb{N}$, chúng ta làm như sau :

$\tan x + \cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$ ; (bằng cách phân tích công thức của $\tan$ và $\cot$)

$=\frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{\cos x. \sin x}$

$=\frac{1}{\cos x. \sin x}$ , sử dụng $\sin x+\cos x =1$

$=\frac{1}{1/2 \sin 2x}$, sử dụng công thức nửa góc

$=2.cosec\,2x$, theo định nghĩa của $cosec$

Nhớ rằng phần phức tạp (hay nói cách khác là phần mà ta có thể biến đổi và đơn giản hoá) nằm ở một vế và được sử dụng xuyên suốt để giải bài.

Nếu bạn bắt đầu với một phương trình và cố gắng chuyển vế qua lại chúng (như nhiều người hay làm) thì bạn rất dễ đi vào vòng luẩn quẩn.





9. Hãy hỏi “Chuyện gì sẽ xảy ra nếu…………….?”

Một nhà toán học giỏi họ thường tự đặt câu hỏi: “Chuyện gì sẽ xảu ra nếu……………?”. Ví dụ, chuyện gì sẽ xảy ra nếu như tôi ngừng việc sử dụng tính chất đó? Bằng cách tự đặt câu hỏi như thế này chúng ta sẽ có khả năng hiểu rõ hơn vì sao kết quả bài toán đúng hay tại sao người ta lại có được định nghĩa như thế. Đôi khi chúng ta tạo ra một định lý bằng cách làm cho tính chất cũ trước đây trở nên yếu đi.

Thêm một ví dụ nữa về “Chuyện gì nếu”. Lưu ý rằng đôi khi một vài vấn đề toán học được điều chỉnh bằng cách thêm vài điều kiện. Ở cấp độ thông thường chúng ta có thể nói một tập hợp hữu hạn là một tập hợp với hữu hạn những con số hay những yếu tố nào đó, nhưng thực ra nó còn một số ví dụ phức tạp hơn nhiều, ví dụ như nhóm (Nhóm là một tập hợp mà các phần tử được “nhân lên” nhiều lần so với tập hợp thông thường. Sự nhân lên này phải đáp ứng theo một số yêu cầu được đặt ra).

Bây giờ, với hai tập $A$ và $B$, chúng ta có thể làm phép tính $A.B$. Chúng ta có thể hỏi nếu $A$ và $B$ có 1 số giá trị nào đó, vậy liệu có tồn tại phép tính $A.B$ ?Ví dụ, giả sử $A$ và $B$ là hai tập hữu hạn, thì liệu tích $A.B$ cũng là tập hữu hạn? Trong trường hợp này thì đúng là như vậy. Vậy nếu $2$ tập $A$ và $B$ là vô hạn, thì tích $A.B$ cũng là vô hạn? Hay nếu $A$ và $B$ là nhóm, thì tích $A.B$ cũng là nhóm? Hay nếu $A$ và $B$ là không gian tô pô, thì tích $A.B$ cũng vậy chứ? Và rất nhiều những câu hỏi khác.

Ý tưởng của việc tại sao chúng ta hãy tự đặt câu hỏi cho bản thân là nhằm mục đính nâng cao kiến thức và khả năng hiểu biết của chúng ta.





10. Sự liên lạc!

Khi ngài Christopher Zeeman thành lập Viện toán tại Đại học Warwick, một trong những ý tưởng quan trọng của ông ta là để tạo điều kiện, môi trường thuận lợi để học toán thì trong các dãy hành lang của học viện đều phải có bảng đen, không chỉ đơn thuần là nằm trong phòng giảng dạy, vì vậy mọi người có thể dễ dàng trao đổi với nhau và thuận tiện hơn khi trình bày công việc của mình. Điều này sẽ thúc đẩy sự hợp tác, nhưng cũng quan trọng không kém là cho phép mọi người có thể kiểm tra công việc lẫn nhau. (Học việc Issac Newton ở Cambridge đã có những bước tiến xa hơn trong việc sử dụng bảng đen. Họ đặt chúng ngay cả trong nhà vệ sinh và trong một cái ở thang máy chỉ sử dụng cho $2$ tầng lầu)

Có nhiều lợi ích trong việc tạo ra mối liên lạc với người khác. Giải thích về việc làm của bạo sẽ làm bạn suy nghĩ kỹ hơn, sâu sắc hơn. Và khi bạn nghiên cứu cùng với những người khác, họ có thể tìm ra lỗi sai trong suy nghĩ hay ý tưởng của bạn về cách giải quyết một bài toán nào đó. Thậm chí bạn cũng có thể học tập từ những lời giải thích.

Vì vậy bạn hãy tự kiếm một người để cùng trao đổi nhé. Bạn không có à? Hãy tìm kiếm. Nếu bạn tham gia vào một khoá học nào đó, bạn hãy ngồi cùng với một ai đó (gần vị trí giữa phòng học là tốt nhất) và hỏi họ xem làm cách nào họ giải được bài tập $3.2$ hay gì gì đó. Hãy tìm kiếm đi nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 14-06-2012 - 16:24

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#2 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 14-06-2012 - 16:17

Cuốn How to think like a mathematician- Kevin Houston
File gửi kèm  How to Think Like a Mathematician - A Companion to Undergraduate Mathematics - (Malestrom).pdf   1.65MB   8303 Số lần tải

#3 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-06-2012 - 16:19

Mọi người xem có phải cái này không:

http://blngcc.files....thematician.pdf

Links die bảo em lấy lại cho (Dày 263 trang, up đến tết tây nhé)

Sơ qua về bản tiếng anh:

Contents
0 Preface 4
1 Study Skills For Mathematicians 7
1 Sets and functions 8
2 Reading mathematics 19
3 Writing mathematics I 26
4 Writing mathematics II 39
5 How to solve problems 45
II How To Think Logically 54
6 Making a statement 55
7 Implications 65
8 Finer points concerning implications 71
9 Converse and equivalence 77
10 Quantifiers — For all and There exists 82
11 Complexity and negation of quantifiers 86
12 Examples and counterexamples 92
13 Summary of logic 98
III Definitions, Theorems and Proofs 99
14 Definitions, theorems and proofs 100
15 How to read a definition 104


16 How to read a theorem 110
17 Proof 117
18 How to read a proof 120
19 A study of Pythagoras’ Theorem 127
IV Techniques of Proof 136
20 Techniques of proof I: Direct method 137
21 Some common mistakes 147
22 Techniques of proof II : Proof by cases 153
23 Techniques of proof III : Contradiction 159
24 Techniques of proof IV: Induction 164
25 More sophisticated induction techniques 173
26 Techniques of proof V : Contrapositive method 178
V Mathematics That All Good Mathematicians Need 182
27 Divisors 183
28 The Euclidean Algorithm 192
29 Modular arithmetic 204
30 Injective, surjective, bijective — and a bit about infinity 213
31 Equivalence relations 225
VI Closing Remarks 236
32 Putting it all together 237
33 Generalization and specialization 242
34 True understanding 246
35 The biggest secret 250
Appendices 251
A Greek alphabet 252
B Commonly used symbols and notation 253

C How to prove that . . . 255
Index 257

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-06-2012 - 16:25

Cuốn How to think like a mathematician- Kevin Houston
File gửi kèm  How to Think Like a Mathematician - A Companion to Undergraduate Mathematics - (Malestrom).pdf   1.65MB   8303 Số lần tải

Sao bản của anh nhẹ thế (1,64 M) (của em lên tới 15,72 M)

__________

Preface
Question: How many months have 28 days?

Mathematician’s answer: All of them.

The power of mathematics

Mathematics is the most powerful tool we have. It Controls our world. We can use it to put men on the moon. We use it to calculate how much insulin a diabetic should take. It is hard to get right.

And yet. And yet... And yet people who use or like mathematics are considered geeks or nerds.1 And yet mathematics is considered useless by most people - children at school throughout history have whined ‘When am I ever going to use this?’

Why would anyone want to become a mathematician? As mentioned earlier it is a very powerful tool. Jobs are often well-paid and people do tend to be impressed. There are a number of responses from non-mathematicians when meeting a mathematician, the most common being ‘I hated maths at school. I wasn’t any good at it’, but another common response is ‘You must be really clever.’

The concept

The aim of this book is to divulge the secrets of how a mathematician actually thinks. As I went through my mathematical career, there were many instances when I thought, ‘I wish someone had told me that earlier.’ This is a collection of such advice. Well, I hope it is more than such a collection. I wish to present an attitude - a way of thinking and doing mathematics that works - not just a collection of techniques (which I will present as well!)

If you are a beginner, then studying high-level mathematics probably in-volves using study skills new to you. I will not be discussing generic study skills necessary for success - time management, note taking, exam technique and so on; for this information you must look elsewhere.

I want you to be able to think like a mathematician and so my aim is to give you a book jam-packed with practical advice and helpful hints on how to acquire...

_________________
Ai cần các đoạn văn tiếng anh có trong file .pdf thì cứ hỏi nhé...

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#5 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 14-06-2012 - 16:45

Chắc dich hết hè >:)


OK! MÌnh hứng với phần dịch này ( trau dồi vốn từ luôn,tiện thể còn cày anh) ! Nhưng còn chờ thi chuyên xong đã! Hajz.. để cuối tuần sau nhá

Quyển vừa dày, vừa to, dịch ra nhớ post lên VMF và yêu cầu bảo lãnh về bản quyền
Sau đó xin giấy chứng nhận mình đã dịch giả trên VMF
Sau đó sang bên Kevin Houston University of Leeds để xin giấy bản quyền về việc biên dịch
Rồi tới nhà xuất bản, đăng kí sản xuất bộ sách này và nhờ họ định giá
Bán và ngồi chơi thu tiền,...

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#6 dot

dot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết

Đã gửi 15-06-2012 - 09:57

How to Become a Pure Mathematician

http://bookfi.org/dl/503377/22776d

How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics

http://bookfi.org/dl/1032411/15da67

http://bookfi.org/dl/837637/bb2601

When Least Is Best: How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible

http://bookfi.org/dl/697995/7241e6

#7 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4268 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 16-06-2012 - 19:31

Em thấy ở Trang chủ bài viết của anh Trọng bị lỗi $\TeX$ kìa!!

“People's dream will never end!” - Marshall D. Teach.


#8 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 18-06-2012 - 07:50

Chỗ x < 2 \Rightarrow x^{2}-4x-5 \neq 0 ấy anh ạ
Anh ấn Ctrl + F rồi paste đoạn x < 2 \Rightarrow x^{2}-4x-5 \neq 0 là tìm ra đó

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#9 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 30-06-2012 - 13:00

CÁCH HỌC CỦA CÁC DANH NHÂN

Khi trình bày tiểu sử các danh nhân, thường nhiều tác giả chỉ chú ý đến tinh thần vượt khó khăn và những thành tựu đạt được của họ khi còn đi học và cả khi đã thành danh. Cách trình bày đó dễ làm cho người đọc “kính nhi viễn chi” vì cho rằng các vị đó là “thần đồng”, mình bắt chước sao được.Dĩ nhiên, mỗi danh nhân có đặc thù riêng, đồng thời cũng có những phẩm chất mà người bình thường ngày nay cũng có thể học được không nhiều thì ít. Tuy tài liệu về “cách học” của các danh nhân ít ỏi, chúng tôi đã đề nghị giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết cho vài nét về cách học của một số danh nhân trong và ngoài nước.
+Hồ Chí Minh (1890-1969). Bác Hồ không chỉ là lãnh tụ vĩ đại của dân tộc mà còn là tấm gương vĩ đại về học tập, nhất là tự học. Bác đã khái quát nên một quy luật, dùng cho mọi người bình thường: “Về cách học, phải lấy tự học làm cốt”. Ở Bác thấy rõ nhất là việc chủ động tìm học, tự học, học mọi lúc, học mọi nơi, học mọi người, học bằng mọi cách, học qua mọi nội dung và học có kế hoạch. Năm 1911, vừa bước chân xuống tàu thủy, anh Ba phụ bếp đã chủ động tìm đến các thủy thủ Pháp để học tiếng Pháp. Sang Pari, Nguyễn Ái Quốc chả cần trường lớp gì đã chủ động học viết báo bằng những cách viết ra những điều mình nghĩ là có ích cho phong trào giải phóng thuộc địa gửi đăng báo, giữ lại một bản để sau khi bài báo được biên tập và đăng, so sánh với bài đăng để biết mình dở, mình kém chỗ nào mà học cách viết báo, đồng thời luyện thêm tiếng Pháp. Sang anh, đi dự các buổi sinh hoạt câu lạc bộ thì không nghĩ hẹp là chỉ đi sự những buổi có nội dung trực tiếp với phong trào giải phóng thuộc địa, mà dự cả những buổi có nội dung rất xa với chủ đề đó như “thôi miên” và rồi, ngay tại trận, khi lên phát biểu ý kiến, lại lái được nội dung thôi miên vào vấn đề giải phóng thuộc địa. Khi ở Xiêm, Bác học tiếng Xiêm rất có kế hoạch, giữ đúng mỗi ngày học thêm mấy từ mới, không bữa đực bữa cái như nhiều người nên tiến bộ rất nhanh…
+Nguyễn Trãi (1380-1442). Tài liệu nói về cách học của Nguyễn Trãi rất ít nhưng một điều có thể thấy rõ ở ông là rèn luyện tư duy độc lập. Trong đời thường và có lẽ trong các sách ông đọc, cái lí “mạnh được yếu thua” chắc là phổ biến. Nhưng Nguyễn Trãi không vì vậy mà khư khư ôm lấy cái lí đó. Ông nghiền ngẫm, suy xét và đề xướng ra cái lí: “lấy yếu thắng mạnh, lấy ít địch nhiều”. Đó là một đầu óc thật sáng suốt, dám suy nghĩ độc lập, không lệ thuộc vào những điều mà đời thường đã quen công nhận là chân lí. Ông sống và làm việc cách đây đã dăm thế kỉ, mà mãi đến thế kỉ 19, triết học duy vật biện chứng mới chính thức ra đời, nêu ra những luận điểm như “có thể chuyển hóa yếu thành mạnh”. Dù cho tư chất chúng ta không được thông minh như Nguyễn Trãi nhưng bài học về “độc lập suy nghĩ” là một bài học phổ biến, ai cũng phải theo nếu muốn học tốt. Ở nhà trường chúng ta hiện nay, cả trong dạy và học, việc phát triển “năng lực độc lập suy nghĩ” còn quá yếu, học thuộc lòng, học vẹt đang còn phổ biến.
+Lê Quý Đôn (1729-1781). Ngày xưa, chương trình học chủ yếu là “tứ Thư, ngũ Kinh” mà ngày nay ta cho là “từ chương, khoa cử”, chỉ học văn chương, thơ phú, hầu như không có trường chuyên nghiệp, không có khoa học tự nhiên. Trong tình hình đó, Lê Quý Đôn bằng phương pháp riêng của mình, đã để lại cho đời sau nhiều kiến thức khoa học. Đó là cách tự học bằng quan sát, so sánh, lấy số liệu, ghi chép, chọn lọc, sắp xếp, hệ thống hóa. Mà ông chỉ đơn độc một mình chứ làm gì có viện nghiên cứu, trường đại học làm hậu thuẫn. Và ông xứng đáng được giới khoa học ngày nay tôn vinh là nhà khoa học.
+Newton (1643-1727, người Anh). Các giáo viên thường hay kể cho học sinh nghe câu chuyện Newton nhìn thấy quả táo rơi mà phát minh ra Định luật vạn vật hấp dẫn. Từ đó nảy sinh ra câu chuyện hài hước sau đây: một học sinh phàn nàn với bạn rằng trong vườn nhà mình không có cây mít. Hỏi tại sao phàn nàn như vậy thì được trả lời: Newton nhìn thấy quả táo rơi mà phát minh ra định luật vạn vật hấp dẫn; nếu tớ mà nhìn thấy quả mít rơi, chắc tớ phải phát minh ra một định luật quan trọng hơn nhiều. Cách trình bày tiểu sử như vậy dễ làm cho học sinh thán phục một thần đồng mà không làm cho các em học tập được điều gì. Mỗi phát minh bao giờ cũng là một bước nhảy vọt sau những tích lũy tiệm tiến. Không có sự tích lũy này thì làm sao có phát minh. Giọt nước chỉ tràn li khi li đã đầy. Chắc hẳn Newton đã từng quan sát và suy nghĩ nhiều về sự rơi của các vật: thả một vật cho nó rơi tự do thì nó rơi theo đường thẳng, ném thì nó rơi theo đường cong, ném cáng mạnh rơi càng xa. Vậy có một cỗ đại bác bắn thật mạnh thì viên đạn sẽ rơi xa đến đâu khi biết rằng quả đất là tròn? Có tích lũy như vậy mới phát hiện và lí giải được mâu thuẫn: tại sao quả táo rơi mà mặt trăng không rơi? Như vậy cái li của Newton đã đầy và cái hôm ông nhìn quả táo rơi là giọt nước tràn li. Hàng triệu người cũng thấy quả táo rơi nhưng chẳng ai phát minh ra cái gì vì học là những cái li chưa đầy. “Tài năng là do rèn luyện mà nên”. Nhiều nhà bác học lừng danh đều nói thế, không chỉ vì khiêm tốn mà đó là sự thật: Không tích lũy tiệm tiến thì không có nhảy vọt.
+Pông-tria-ghin (1909-1988, người Nga). Do tai nạn, ông bị mù năm 13 tuổi. Lúc mới bị mù, ông phải nhờ mẹ đọc dùm sách để học. Rồi ông tập dần nhìn bằng óc, tưởng tượng ra trong óc các hình, các số, các phương trình,v.v… Cứ thế ông đã trở thành một nhà toán học lỗi lạc của Liên Xô (cũ), Giáo sư, Viện sĩ ở trường đại học tổng hợp Matxcơva. Lĩnh vực chuyên môn của ông (tôpô và các quá trình tối ưu) lại rất trừu tượng, người sáng mắt học còn thấy khó. Ông hơn người sáng mắt vì ông không còn đôi mắt mà ỷ lại nên phải lo luyện nhìn bằng trí óc. Nhìn bằng mắt thì dù có kính quang học hỗ trợ vẫn bị hạn chế, còn nhìn bằng óc thì có thể nhìn vào cái vô cùng bé, cái vô cùng lớn một cách không giới hạn, có thể nhìn vào các không gian nhiều chiều, vô số chiều, có thể nhìn vào những không gian không đủ kiểu,v.v… Rõ ràng tư duy trừu tượng mới là sức mạnh rọi sáng vào bóng đêm của sự dốt nát.




(Xuân Quý Mùi)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 30-06-2012 - 16:40


#10 CaptainAmerica

CaptainAmerica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
  • Sở thích:Ma \m/

Đã gửi 04-03-2013 - 00:08

Cho thêm ví dụ về phần 2. Viết thành câu được không ạ :luoi:

Y so serious?


#11 GiangVan

GiangVan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 10 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 16-01-2023 - 21:00

cảm ơn anh cho em them cách suy nghĩ cách em hay dùng truyền thống dùng tính chất trước suy ra tính chất sau của Euclid nhưng anh cung cấp cho em thêm cách mới em cảm ơn anh:))



#12 nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hạ Long
  • Sở thích:Arithmetic geometry

Đã gửi 16-01-2023 - 23:19

Ở cấp phổ thông trở xuống, các bạn học sinh dùng dấu “⇒” rất tuỳ tiện: dấu ⇒ vốn là một toán tử dùng để nối hai mệnh đề, tạo ra một mệnh đề mới, nhưng rất nhiều bạn lại dùng nó như một liên từ (viết tắt thay cho “suy ra”, “vì thế”,…). Điều này gây trở ngại về tư duy khi học lên cao hơn: rất nhiều sinh viên không hiểu được những suy luận cơ bản kiểu “nếu A thì B”… và khi đụng đến những định nghĩa dài kiểu 2-3 lượng từ như định nghĩa hàm liên tục thì đa số sinh viên tê liệt.

> 0, ∀x, |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε


$$x - \sum_{\rho} \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2}\log(1-x^{-2}) = \frac{\psi(x+0) + \psi(x - 0)}{2}, \qquad \psi(x) = \sum_{\substack{p^n \le x \\  n \ge 1}} \log p.$$

 

"Ce que nous savons est peu de chose, ce que nous ignorons est immense." - P.S. Laplace


#13 Isidia

Isidia

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Đã gửi Hôm qua, 00:30

Ở cấp phổ thông trở xuống, các bạn học sinh dùng dấu “⇒” rất tuỳ tiện: dấu ⇒ vốn là một toán tử dùng để nối hai mệnh đề, tạo ra một mệnh đề mới, nhưng rất nhiều bạn lại dùng nó như một liên từ (viết tắt thay cho “suy ra”, “vì thế”,…). Điều này gây trở ngại về tư duy khi học lên cao hơn: rất nhiều sinh viên không hiểu được những suy luận cơ bản kiểu “nếu A thì B”… và khi đụng đến những định nghĩa dài kiểu 2-3 lượng từ như định nghĩa hàm liên tục thì đa số sinh viên tê liệt.

> 0, ∀x, |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε

Mình cũng bị lỗi này hồi nhỏ, và bây giờ cũng vậy. Nó tiện như kiểu viết tắt.

 

Có lẽ cứ ghi suy ra hay gì đấy.

 

Bạn có đề xuất nào hay hơn không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Isidia: Hôm qua, 00:30

Chính là gì, là đúng đắn. Nghịch là gì, là sai lệch. Đạo là gì, là đường đi. Chính đạo là đường đi đúng đắn dẫn người ta đến với lẽ phải. Nghịch đạo là lối mòn sai lệch dẫn người ta vào chốn lầm lạc. Đạo của việc học là để thị biệt đúng sai, phân định đâu là chính đạo, đâu là nghịch đạo. Than ôi, đường đời rối như trăm mối tơ vò, chính đạo chỉ có một mà nghịch đạo có cả trăm, biết theo lối nào đây? Cho nên, đạo của bậc làm thầy là dẫn lối cho kẻ học trò đến gần với chính đạo, can ngăn kẻ ngu ngơ rời xa khỏi nghịch đạo. Hướng về chính đạo, rời xa nghịch đạo há chỉ dừng ở đường thi thôi, mà còn phải dẫn lối suy nghĩ. Ngẫm sâu rồi mới nghe thầy, nghĩ sâu rồi mới theo thầy, đó là chính đạo của việc học . Chưa hiểu mà đã dạ vâng, tồn nghi mà không chịu hỏi, đó chính là nghịch đạo của phận học trò.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh