Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. CMR
$sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC> 2\pi$
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn....
Bắt đầu bởi Draconid, 15-06-2012 - 23:55
#1
Đã gửi 15-06-2012 - 23:55
PC đã hỏng chờ mua máy mới (
#2
Đã gửi 24-07-2012 - 14:51
pt đó <=> $sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C))$
<=>$(sinA+tanA-2A)+(sinB+tanB-2B)+(sinC+tanC-2C)>0$
Xét hàm số $f(x)=sinx+tanx-2x$ với $x\epsilon (0,\frac{\pi }{2})$
$f'(x)=cosx + \frac{1}{cos^{2}x}-2$
ta có :0<x<$\frac{\pi }{2}$ <=> $1>cosx>0$ <=> $cosx>cos^{2}x$
<=> $\frac{1}{cosx}<\frac{1}{cos^{2}x}$
Do đó : $cosx + \frac{1}{cos^{2}x}-2>cosx+\frac{1}{cosx}-2$
Áp dụng BĐT cauchy : $cosx+\frac{1}{cosx}>2$
=> $cosx+\frac{1}{cos^{2}x}-2>0$
<=> $f'(x)>0$
=> f(x) là hàm đồng biến trên $(0,\frac{\pi }{2})$
=>f(x)>f(0)=0
Do A,B,C là các góc nhọn của tam giác lên 0<A,B,C<$\frac{\pi }{2}$
Vậy f(A)>0 ; f(B)>0 ; f(C)>0
=> f(A)+f(B)+f(C)>0
=> đpcm
đây là bài giải của mình.nếu có gì sai xót mong bạn bỏ qua nhé
<=>$(sinA+tanA-2A)+(sinB+tanB-2B)+(sinC+tanC-2C)>0$
Xét hàm số $f(x)=sinx+tanx-2x$ với $x\epsilon (0,\frac{\pi }{2})$
$f'(x)=cosx + \frac{1}{cos^{2}x}-2$
ta có :0<x<$\frac{\pi }{2}$ <=> $1>cosx>0$ <=> $cosx>cos^{2}x$
<=> $\frac{1}{cosx}<\frac{1}{cos^{2}x}$
Do đó : $cosx + \frac{1}{cos^{2}x}-2>cosx+\frac{1}{cosx}-2$
Áp dụng BĐT cauchy : $cosx+\frac{1}{cosx}>2$
=> $cosx+\frac{1}{cos^{2}x}-2>0$
<=> $f'(x)>0$
=> f(x) là hàm đồng biến trên $(0,\frac{\pi }{2})$
=>f(x)>f(0)=0
Do A,B,C là các góc nhọn của tam giác lên 0<A,B,C<$\frac{\pi }{2}$
Vậy f(A)>0 ; f(B)>0 ; f(C)>0
=> f(A)+f(B)+f(C)>0
=> đpcm
đây là bài giải của mình.nếu có gì sai xót mong bạn bỏ qua nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangcuong12a3: 24-07-2012 - 14:59
- hoangtrong2305 và Mrnhan thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh