$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 16-06-2012 - 10:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 16-06-2012 - 10:43
Biến đổi giả thiết $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$$Cho $3$ số $a,b,c$ dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 16-06-2012 - 11:09
Cho $3$ số $a,b,c$ dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$
Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xy+yz+zx=1$ và $f=\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:
$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3xyz+(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^3}{3xyz(x+y+z)+(x+y+z)^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{(xy+yz+zx)^2+(x+y+z)^2} =\frac{(x+y+z)^3}{(x+y+z)^2+1}$
Đặt $t=x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$ thì $f=\frac{t^3}{t^2+1}=\frac{t^3}{t^2+1}-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{(t-\sqrt{3})(4t^2+\sqrt{3}t+3)}{4(t^2+1)}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh