Đến nội dung

Hình ảnh

$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
jb7185

jb7185

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
Cho $3$ số $a,b,c$ dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 16-06-2012 - 10:43


#2
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Cho $3$ số $a,b,c$ dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$

Biến đổi giả thiết $$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$$
Sử dụng BĐT $(x+y+z)^2\geq 3(xy+xz+zx)$
$$\Rightarrow f^2\geq 3.\left [ \frac{b^2}{(1+ab)(1+bc)}+\frac{c^2}{(1+bc)(1+ca)}+\frac{a^2}{(1+ab)(1+ca)} \right ]$$
$$=3.\frac{\sum b^2(1+ac)}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}=3.\frac{a^2+b^2+c^2+abc(a+b+c)}{1+ab)(1+bc)(1+ca)}$$
$$\geq 3.\frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}+(abc)^2}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}=3.\frac{\frac{4(abc)^2}{3}}{(1+ab)(1+bc)(1+ca)}$$
$$=\frac{4}{\left ( \frac{1}{ab}+1 \right )\left ( \frac{1}{bc}+1 \right )\left ( \frac{1}{ca}+1 \right )}$$
Mà theo BĐT AM-GM thì
$$\left ( \frac{1}{ab}+1 \right )\left ( \frac{1}{bc}+1 \right )\left ( \frac{1}{ca}+1 \right )\leq \left [ \frac{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+3}{3} \right ]^3=\frac{4^3}{3^3}$$
Suy ra $$f^2\geq \frac{4}{\frac{4^3}{3^3}}=\frac{27}{16}$$
$$\Rightarrow f\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 16-06-2012 - 11:09


#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $3$ số $a,b,c$ dương thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=abc$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$f=\frac{ab}{c(1+ab)}+\frac{bc}{a(1+bc)}+\frac{ca}{b(1+ca)}$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xy+yz+zx=1$ và $f=\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức, ta được:

$\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\geqslant \frac{(x+y+z)^2}{3xyz+(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^3}{3xyz(x+y+z)+(x+y+z)^2}\geqslant \frac{(x+y+z)^3}{(xy+yz+zx)^2+(x+y+z)^2} =\frac{(x+y+z)^3}{(x+y+z)^2+1}$

Đặt $t=x+y+z\geqslant \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$ thì $f=\frac{t^3}{t^2+1}=\frac{t^3}{t^2+1}-\frac{3\sqrt{3}}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{(t-\sqrt{3})(4t^2+\sqrt{3}t+3)}{4(t^2+1)}+\frac{3\sqrt{3}}{4}\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh