Chủ đề này có 6 trả lời

[ducthinh26032011]

Bài 1​: (2đ)Cho góc xAy vuông,$B\in Ax,C\in Ay$.Hình vuông MNPQ có $M\in AB,N\in AC$,$P$ và $Q\in$ cạnh $BC$.
a)Tính độ dài cạnh MN theo BC=a và đường cao AH=h của $\Delta ABC$.
b)Cho B,C di động sao cho $AB.AC=k^{2}$(k không đổi).Tìm max của $S_{MNPQ}$
Bài 2: (2đ)Cho pt có ẩn x:$x^{2}-2(m-1)x-m-3$.
a)Xác định m để pt có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\geq 4$
b)C/m nghiệm $x_{1};x_{2}$ luôn thỏa 1 hệ thức,xác định hệ thức đó.
Bài 3: (3đ)a) C/m bđt sau,Nêu dấu "=" xảy ra khi nào?
$\sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$($x,y,z\geq 0$)
b) Tìm x,y,z thỏa :$x^{2}+2y=y^{2}+2z=z^{2}+2x=2$
c)Tìm $x,y\in Z$ thỏa $(2x-2y+1)(4x+2y-3)=p^{2}-1$(với p là số nguyên tố)
Bài 4: (2đ)Cho A cố định trên (O;R),vẽ 2 dây cung AB,AC tùy ý sao cho AB.AC=a.
a)C/m:BC luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
b)Tìm vị trí dây cung BC để $S_{\Delta ABC}$ đạt max
c*)Giả sử $\Delta ABC$ có phân giác AD,đường cao CH và trung tuyến BE đồng quy tại M.C/m:$AB.cosA=BC.cosB$
Bài 5*: (1đ) Cho $a,b,c\geq 0$.C/m:
a)$3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+1)\geq 2(ab+bc+ca+a+b+c)$
b)$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 16-06-2012 - 21:17

[L Lawliet]

Chém trước bài dễ
Bài 3
a)Áp dụng B.C.S ta có:
$VT\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)}=\sqrt{3(x+y+z)^{2}}=\sqrt{3(x+y+z)}$
Dấu = xảy ra khi x=y=z

Mình vẫn chưa hiểu chỗ này của bạn, bạn vui lòng chỉ mình với:
- Nếu CM như bạn thì thành $VT\leq VP$ rồi
- Và cái cuối đâu có bằng $VP$ đâu
Bạn chỉ mình vs, mình thật sự không hiểu

[ducthinh26032011]

Chém trước bài dễ
Bài 3
a)Áp dụng B.C.S ta có:
$VT\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2xz+2yz)}=\sqrt{3(x+y+z)^{2}}=\sqrt{3(x+y+z)}$
Dấu = xảy ra khi x=y=z
b)Giả sử:$x\geq y\geq z$
ta có:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+2y+2z+2x=6\Rightarrow (x+1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}=9=9+0+0=4+4+1$
Vậy từ đây ta có các cặp số:
TH1:$\left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}=9\\ (y+1)^{2}=0 \\(z+1)^{2}=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2;-4\\ y=-1\\ z=-1 \end{matrix}\right.$
TH2:$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)^{2}=4\\ (y+1)^{2}=4\\ (z+1)^{2}=1 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-3;1\\ y=-3;1 \\z=-2;0 \end{matrix}\right.$
Vậy ta có các cặp số (x;y;z) thỏa mãn đề là: (-4;-1;-1);(2;-1;-1);(-3;-3;-2);(-3;-3;0);(-3;1;-2);(-3;1;0);(1;-3;-2);(1;-3;0);(1;1;-2);(1;1;0)

Gì vậy Vương.Người ta có cho x,y,z nguyên đâu mà làm vậy.

[thedragonknight]

tiếp tục 3c:
$VT=(p^{2}-1).1=(p+1)(p-1)$
Ta có 4TH:
Th1:$\left\{\begin{matrix} 2x-2y+1=p^{2}-1\\ 4x+2y-3=1 \end{matrix}\right.$
suy ra:$6x-2=p^{2}$ từ đó ta suy ra $p^{2}$ chia 6 dư -2 nghĩa là dư 4 nên p chẵn mà p nguyên tố nên p=2. Từ đó ta tìm đc x=1;y=0
TH2: ngược lại Th1 giải tương tự ta cũng ra kết quả như TH1
TH3:$2x-2y+1=p+1$
4x+2y-3=p-1
Suy ra 6x-2=2p $\Rightarrow$3x-1=p
Suy ra: p chia 3 dư 2
Đặt p=3k+2(k nguyên và k khác 0)
Thế vào ta đc: x=k+1
Từ đó tìm đc y=$\frac{-k}{2}$(loại)
TH4 ngược lại TH3
ta giải tương tự ta cũng đc:
3x-1=p
ta cũng đặt p=3k+2(k nguyên)
suy ra x=k+1
thế vào ta tìm đc y=$\frac{2-k}{2} (loại)
Vậy (x;y;p)=(1;0;2)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thedragonknight: 16-06-2012 - 21:02

[ducthinh26032011]

Phù,mãi mới ra câu 3a,vất vả quá!
3a)$(x-y)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 4(x^{2}+xy+y^{2})-3(x^{2}+2xy+y^{2})\geq 0$
$\Leftrightarrow x^{2}+xy+y^{2}\geq \frac{3(x+y)^{2}}{4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{\sqrt{3(x+y)^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}$
Tương tự:$\Leftrightarrow \sqrt{y^{2}+yz+z^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{z^{2}+zx+x^{2}}\geq \frac{\sqrt{3}(z+x)}{2}$
Cộng 3 vế,ta được:$VT\geq VP$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Bài toán được giải quyết.
P/s:Đề khó quá!Ráng chém nốt nha các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 16-06-2012 - 21:19

[thedragonknight]

Bài 5:
a)Xét hiệu: VT-VP=$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$
Dấu =xảu ra khi a=b=c=1
b) http://diendantoanho...-bdt-phn-1.html

[triethuynhmath]

yeah, mình cuối cùng đã chém được 2 bài bất đẳng thức cuối, bài đàu dễ nhưng bài sau khó, phải dùng đến đirichlet, mình xin trình bày, có gì sai sót mong các bạn góp ý:
a) áp dụng bdt cauchy cho 2 số không âm, ta có:
$x^2 + 1 \geq 2x$
$y^2 + 1 \geq 2y$
$z^2 + 1 \geq 2z$
Ta biến đổi tương đương sẽ cm được $2(x^2+y^2+z^2) \geq 2(xy+yz+zx)$
cộng vố theo vế, ta có đpcm
b) Theo nguyên lý đirichlet trong 3 số x,y,z luôn tồn tại ít nhất 2 số đồng thời không nhỏ hơn 1 hoặc đồng thời không lớn hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là x,y
Ta có : $(x-1)(y-1) \geq 0$
Mà $z \geq 0$
=> $z(x-1)(y-1) \geq 0$
$=> xyz \geq xy +yz -z$
$=> x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz +1 \geq (x-y)^2 +(z-1)^2 + 2(xy+yz+zx) \geq 2(xy+yz+zx)$
=> đpcm