Chủ đề này có 2 trả lời

[Mr0]

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{x^{2}}{x^{4}-1}dx$

[Crystal]

$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{x^{2}}{x^{4}-1}dx$

Ta có: \[I = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}} dx = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\left( {\frac{1}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}} \right)} dx\]
\[ = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx - \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}} } dx = {I_1} - {I_2}\]
* Tính ${I_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx} $

\[{I_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{{x^2} - 1}}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)} dx = \left. {\frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} = ...\]
* Tính ${I_2} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}} dx$

\[{I_2} = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{1}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\left( {\frac{1}{{{x^2} - 1}} - \frac{1}{{{x^2} + 1}}} \right)} dx\]
Và tương tự như tính ${I_1}$ thôi.

[duongtoi]

Bài này bạn làm thế là phức tạp hóa bài toán lên rồi.
Ta chỉ cần phân tích $\frac{x^2}{x^4-1}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2-1} \right )$.
Do vậy, ta được
$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{x^2{\rm d}x}{x^4-1}=\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}+ \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{{\rm d}x}{x^2-1}\right )$
$\frac{1}{2}\left ( \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{{\rm d}x}{x^2+1}+ \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt3}}\frac{{\rm d}x}{x^2-1}\right ) =\left (\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{4}\ln\left |\frac{x-1}{x+1} \right | \right )\Bigg |_0^{\frac{1}{\sqrt3}}=...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 26-06-2012 - 17:48