Đến nội dung


Hình ảnh

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho: $$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 18-06-2012 - 10:24

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$

 


It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 18-09-2014 - 22:16

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$

 

Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$

$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)

Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ ($p$ là một hằng số nào đó)

Và $f(1)=q+p$ ($q$ cũng là một hằng số)

Từ (1) suy ra :

$f(1+\sqrt{2})=\frac{q}{2}+p$

$f((1+\sqrt{2})^2)=\frac{q}{2^2}+p$

$f((1+\sqrt{2})^3)=\frac{q}{2^3}+p$

....................................................

.....................................................

$\Rightarrow$ hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p$

Mặt khác vì $f(8+6\sqrt{2})=p$ nên suy ra $q=0$.

Vậy tất cả các hàm cần tìm có dạng $f(x)=p$ trong đó $p$ là số thực bất kỳ.

(Ứng với mỗi số thực ta có một hàm số thoả mãn ---> có vô số hàm số thoả mãn ĐK đề bài)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-09-2014 - 22:29

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 19-09-2014 - 19:44

Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$

$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)

Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ ($p$ là một hằng số nào đó)

Và $f(1)=q+p$ ($q$ cũng là một hằng số)

Từ (1) suy ra :

$f(1+\sqrt{2})=\frac{q}{2}+p$

$f((1+\sqrt{2})^2)=\frac{q}{2^2}+p$

$f((1+\sqrt{2})^3)=\frac{q}{2^3}+p$

....................................................

.....................................................

$\Rightarrow$ hàm $f(x)$ có dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p$

Mặt khác vì $f(8+6\sqrt{2})=p$ nên suy ra $q=0$.

Vậy tất cả các hàm cần tìm có dạng $f(x)=p$ trong đó $p$ là số thực bất kỳ.

(Ứng với mỗi số thực ta có một hàm số thoả mãn ---> có vô số hàm số thoả mãn ĐK đề bài)

 

Chỗ màu đỏ chỉ kết luận được $f\left[(1+\sqrt{2})^n\right]=\frac{q}{2^n}+p\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đâu thể suy ra ngay dạng $f(x)=\frac{q}{2^{\log_{1+\sqrt{2}}x}}+p,\ \forall x$ vì không phài số thực $x$ nào cũng có dạng $(1+\sqrt{2})^n$ đâu. Số dạng $\log_{1+\sqrt{2}}x$ chưa chắc là số tự nhiên $\forall x$ đâu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 20-09-2014 - 01:35


#4 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 19-09-2014 - 21:24

Đây chính là Vietnam TST 1994 P5, lời giải có thể tham khảo thêm ở tài liệu dưới (tr. 43-44)

File gửi kèm  Viet Nam TST 1989-2004.PDF   1.31MB   168 Số lần tải


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#5 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 20-09-2014 - 00:16

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f\left[(4+3\sqrt{2})2\right]=2f\left[(2+\sqrt{2})x\right]$

$\Leftrightarrow f(\sqrt{2}x) +f\left[(1+\sqrt{2})^2.2\sqrt{2}\right]=2f\left[(1+\sqrt{2}).\sqrt{2}x\right],\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall x\in\mathbb{R}$ (1)

 

Đặt $a=1+\sqrt{2}>1$ ; $b=f\left(2\sqrt{2}a^2\right)$

 

$\forall y\in\mathbb{R}$, chọn $x=\frac{y}{\sqrt{2}}$   thì (1) suy ra :   $f(y)+b=2f(ay),\ \forall y\in\mathbb{R}$ (2)

 

Đặt $g(x)=f(x)-b,\ \forall x$   $\leftrightarrow$   $f(x)=g(x)+b,\ \forall x$   thì (2) suy ra :   $\begin{cases}g(ax)=\frac{1}{2}g(x),\ \forall x\in\mathbb{R} \\ g(2\sqrt{2}a^2)=0\end{cases}$ (3)

 

(3) $\overset{x=0}{\Rightarrow} g(0)=0$. Do đó $f(0)=b$. (*)

 

Đặt $h(x)=\frac{g(x)}{|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}},\ \forall x\ne0$   $\leftrightarrow g(x)=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.h(x),\ \forall x\ne0$    thì (3) suy ra :   $\begin{cases}h(ax)=h(x),\ \forall x\in\mathbb{R}^* \\ h(2\sqrt{2}a^2)=0\end{cases}$ (4)

 

$\boxed{}$ Xét $x>0$ :

$\forall t\in\mathbb{R}$, chọn $x=a^t>0$   thì (4) suy ra :   $h\left(a^{t+1}\right)=h\left(a^t\right),\ \forall t\in\mathbb{R}$ (4.1)

 

Đặt $\varphi (t)=h(a^t)\ \forall t$   $\leftrightarrow h(x)=\varphi\left(\log_{a}{x}\right),\ \forall x>0$   thì (4.1) suy ra :    $\varphi (t+1)=\varphi(t),\ \forall t\in\mathbb{R}$.

 

Suy ra $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$.

$\boxed{}$ Xét $x<0$ :

$\forall t\in\mathbb{R}$, chọn $x=-a^t<0$   thì (4) suy ra :   $h\left(-a^{t+1}\right)=h\left(-a^t\right),\ \forall t\in\mathbb{R}$ (4.2)

 

Đặt $\varphi' (t)=h(-a^t)\ \forall t$   $\leftrightarrow h(x)=\varphi'\left[\log_{a}{(-x)}\right],\ \forall x<0$   thì (4.2) suy ra :    $\varphi'(t+1)=\varphi'(t),\ \forall t\in\mathbb{R}$.

 

Suy ra $\varphi'$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$.

 

Tóm lại :   $h(x)=\varphi\left(\log_{a}{|x|}\right),\ \forall x\in\mathbb{R}^*$, trong đó $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$

và thoả $0=h(2\sqrt{2}a^2)=\varphi\left(2+\log_{a}{2\sqrt{2}}\right)=\varphi\left(\log_{a}{2\sqrt{2}}\right)$.

 

Suy ra $f(x)=g(x)+b=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.h(x)+b=|x|^{\log_{a}\left(\frac{1}{2}\right)}.\varphi\left(\log_{a}{|x|}\right)+b,\ \forall x\in\mathbb{R}^*$ (**)

 

Từ (*)(**), vậy : $\boxed{f(x)=\begin{cases}b & \text{, nếu } x=0 \\ |x|^{\log_{1+\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)}.\varphi\left(\log_{1+\sqrt{2}}{|x|}\right)+b & \text{, nếu }x\ne0\end{cases}}$

trong đó : $b$ tuỳ ý, $\varphi$ là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì $1$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thoả $\varphi\left[\log_{1+\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\right]=0$.

 

Thử lại thấy đúng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 21-09-2014 - 20:56


#6 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 20-09-2014 - 00:35

Xác định tất cả các hàm số $f$ từ $R \mapsto R$ sao cho:
$f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})2)=2f((2+\sqrt{2})x)$

 

Đây chính là Vietnam TST 1994 P5, lời giải có thể tham khảo thêm ở tài liệu dưới (tr. 43-44)

attachicon.gifViet Nam TST 1989-2004.PDF

 

Đề bài ở đây khác bài TST 1994 (P.5)

TST 1994 (P.5) : $\boxed{\text{Xác định tất cả các hàm số }f\text{ từ }R \mapsto R\text{ sao cho :} \\ f(\sqrt{2}x) +f((4+3\sqrt{2})x)=2f((2+\sqrt{2})x)}$

 

Tuy nhiên cả 2 bài cũng khá giống nhau về hình thức đề, nhưng còn cách giải thì hoàn toàn khác nhau.

Nói chung Không biết ý đồ của người lập topic này là gì ???



#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 20-09-2014 - 13:39

Hoan nghênh sự đóng góp của bạn Kool LL.

Xin giải lại bài này như sau :

Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$

$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)

Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ (2)

 

$1)$ Nếu $x=0$

  Từ (1) ta có $f(0)=2f(0)-p\Rightarrow f(0)=p$

 

$2)$ Nếu $x\neq 0$

  Khi đó $x$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$)

  Giả sử $f(x)=q(x)+p$ nếu $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ ($q(x)$ là một hàm nào đó xác định trên $\left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $\left ( -1-\sqrt{2};-1 \right ]$)

  Với mọi $\alpha$ thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$, ta có : $f(\alpha )=q(\alpha )+p$ (3)

  Mặt khác, từ (1) và (3) ta có : $f(\alpha(1+\sqrt{2}) )=\frac{q(\alpha )}{2}+p$ (4)

  Từ (1) và (4) lại có : $f(\alpha (1+\sqrt{2})^2)=\frac{q(\alpha )}{2^2}+p$ 

  Tiếp tục lại có $f(\alpha (1+\sqrt{2})^3)=\frac{q(\alpha )}{2^3}+p$

  ..........................................................

  ..........................................................

$\Rightarrow f(x)=f(\alpha (1+\sqrt{2})^k)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+p$ (5)

 Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$, từ (5) ta có :

$f(8+6\sqrt{2})=\frac{q(4-2\sqrt{2})}{2^3}+p$ (6)

(2) và (6) $\Rightarrow q(4-2\sqrt{2})=0$.

Vậy các hàm $f$ thoả mãn ĐK đề bài có dạng :

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q(\alpha )}{2^k}+p\ neu\ x=\alpha (1+\sqrt{2})^k\\p\ neu\ x=0 \end{matrix}\right.$

Trong đó :

$q(x)$ là hàm tuỳ ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$

$\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$

$p$ là số thực tuỳ ý.

 

Thử lại thấy thoả mãn ĐK đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-09-2014 - 22:26

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 21-09-2014 - 20:51

Hoan nghênh sự đóng góp của bạn Kool LL.

Xin giải lại bài này như sau :

Đặt $t=\sqrt{2}x\Rightarrow f(t)+f(8+6\sqrt{2})=2f((1+\sqrt{2})t)$

$\Rightarrow f(x)=2f((1+\sqrt{2})x)-f(8+6\sqrt{2})$ (1)

Đặt $f(8+6\sqrt{2})=p$ (2)

 

$1)$ Nếu $x=0$

  Từ (1) ta có $f(0)=2f(0)-p\Rightarrow f(0)=p$

 

$2)$ Nếu $x\neq 0$

  Khi đó $x$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$)

  Giả sử $f(x)=q(x)+p$ nếu $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ ($q(x)$ là một hàm nào đó xác định trên $\left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $\left ( -1-\sqrt{2};-1 \right ]$)

  Với mọi $\alpha$ thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$, ta có : $f(\alpha )=q(\alpha )+p$ (3)

  Mặt khác, từ (1) và (3) ta có : $f(\alpha(1+\sqrt{2}) )=\frac{q(\alpha )}{2}+p$ (4)

  Từ (1) và (4) lại có : $f(\alpha (1+\sqrt{2})^2)=\frac{q(\alpha )}{2^2}+p$ 

  Tiếp tục lại có $f(\alpha (1+\sqrt{2})^3)=\frac{q(\alpha )}{2^3}+p$

  ..........................................................

  ..........................................................

$\Rightarrow f(x)=f(\alpha (1+\sqrt{2})^k)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+p$ (5)

 Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$, từ (5) ta có :

$f(8+6\sqrt{2})=\frac{q(4-2\sqrt{2})}{2^3}+p$ (6)

(2) và (6) $\Rightarrow q(4-2\sqrt{2})=0$.

Vậy các hàm $f$ thoả mãn ĐK đề bài có dạng :

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q(\alpha )}{2^k}+p\ neu\ x=\alpha (1+\sqrt{2})^k\\p\ neu\ x=0 \end{matrix}\right.$

Trong đó :

$q(x)$ là hàm tuỳ ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$

$\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$

$p$ là số thực tuỳ ý.

 

Thử lại thấy thoả mãn ĐK đề bài.

 

Đúng là mọi $x\neq 0$ luôn có thể phân tích một cách duy nhất dưới dạng $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\alpha$ là số thực thoả mãn $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k$ là số nguyên ($k\in \mathbb{Z}$).

Nhưng mà, ý bạn ở đây $\alpha$ là hằng số xác định cố định duy nhất và $k$ thay đổi ki $x$ thay đổi? Hay là $\alpha$ và $k$ đều thay đổi khi $x$ thay đổi?

 

$\boxed{}$ Nếu $\alpha$ là hằng số xác định cố định duy nhất và $k$ thay đổi ki $x$ thay đổi thì sao lại có thề Cho $\alpha =4-2\sqrt{2}$ ; $k=3$ ---> $x=8+6\sqrt{2}$

Còn nếu cố định luôn $\alpha =4-2\sqrt{2}$ thì $k=\log_{1+\sqrt{2}}\left|\frac{x}{\alpha}\right|=\log_{1+\sqrt{2}}\left(\frac{|x|}{4-2\sqrt{2}}\right)$ chưa chắc $k$ sẽ nguyên với mọi $x\in\mathbb{R}^*$ !!!

 

$\boxed{}$ Còn nếu $\alpha$ và $k$ đều thay đổi khi $x$ thay đổi thì hợp lí hơn. Khi đó $k,\alpha$ được xác định như sau :

với mỗi $x\in\mathbb{R}^*$ :

* $k$ là số mũ nguyên sao cho $1.(1+\sqrt{2})^k\le |x|=|\alpha|.(1+\sqrt{2})^k<(1+\sqrt{2})^{k+1}\Leftrightarrow k\le\log_{1+\sqrt{2}}|x|<k+1\Leftrightarrow k=\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]$

(trong đó $[A]$ nghĩa là phần nguyên của số thực $A$)

* $\alpha=\frac{x}{(1+\sqrt{2})^k}=\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}$

Từ đó cuối cùng suy ra :

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{q\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}\right)}{2^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}+p & ,\ \text{nếu }x\ne0\\p & ,\ \text{nếu }x=0 \end{matrix}\right.$

Trong đó :

$q$ là hàm số tuỳ ý xác định trên $(-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$ và thoả $q(4-2\sqrt{2})=0$

$p$ là số thực tuỳ ý.

 

Nếu đặt $q(x)=(x-4+2\sqrt{2}).h(x),\ \forall x\in (-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$ thì

$f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}-4+2\sqrt{2}\right).h\left(\frac{x}{(1+\sqrt{2})^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}\right)}{2^{\left[\log_{1+\sqrt{2}}|x|\right]}}+p & ,\ \text{nếu }x\ne0\\p & ,\ \text{nếu }x=0 \end{matrix}\right.$

Trong đó :

$h$ là hàm số tuỳ ý xác định trên $(-1-\sqrt{2}\ ;\ -1]\cup\left[1\ ;\ 1+\sqrt{2}\right)$

$p$ là số thực tuỳ ý.



#9 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 21-09-2014 - 21:33

Ý mình là khi $x$ thay đổi thì $\alpha$ và $k$ cũng thay đổi, và $x$ chỉ có một cách biểu diễn duy nhất dưới dạng $x=\alpha(1+\sqrt{2})^k$ (1)

Và mình cũng đã nhận thấy là $2$ kết quả của chúng ta, nhìn có vẻ khác nhau nhưng thực chất là một, chỉ là $2$ cách thể hiện khác nhau mà thôi.

Thật vậy, khi biểu diễn $x=\alpha (1+\sqrt{2})^k$ trong đó $\left | \alpha \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $k\in \mathbb{Z}$ thì $\alpha$ và $k$ có thể xem là hàm của biến $x$.Để khỏi gây hiểu nhầm $\alpha$ là hằng số, từ đây trở xuống sẽ viết là hàm $\alpha (x)$.

Từ (1) có thể thấy $\alpha (x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$.

Bây giờ hãy thử biến đổi một chút :

$\left | x \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}=\left ( \left | \alpha(x) \right |(1+\sqrt{2})^k \right )^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}=\frac{\left | \alpha (x) \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}}{2^k}$

Do hàm $\alpha (x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ nên hàm $u(x)=\left | \alpha (x) \right |^{log_{1+\sqrt{2}}(\frac{1}{2})}$ cũng là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$

Còn hàm $\varphi (t)$ của bạn là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ $1$ nên suy ra hàm $v(x)=\varphi \left ( log_{1+\sqrt{2}}\left | x \right | \right )$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$

Và $\varphi \left ( log_{1+\sqrt{2}}(2\sqrt{2}) \right )=0\Leftrightarrow v(2\sqrt{2})=0\Leftrightarrow v(4-2\sqrt{2})=0$

Vậy khi $x\neq 0$, hàm $f(x)$ của bạn có thể viết gọn thành $\frac{u(x).v(x)}{2^k}+b$

Vì $u(x)$ và $v(x)$ đều là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ và $v(4-2\sqrt{2})=0$ nên hàm $q(x)=u(x).v(x)$ cũng là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$

Và do đó $q(x)=q(\alpha)$ (Việc đổi sang biến $\alpha$ thuận tiện hơn vì khi đó ta không cần nói $q(x)$ là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ $1+\sqrt{2}$ nữa mà chỉ cần nói $q(x)$ là hàm tùy ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$)

Vậy cuối cùng ta có (khi $x=\alpha(x)(1+\sqrt{2})^k$)

$f(x)=\frac{q(\alpha )}{2^k}+b$

với $q(x)$ là hàm tùy ý, chỉ cần xác định khi $\left | x \right |\in \left [ 1;1+\sqrt{2} \right )$ và $q(4-2\sqrt{2})=0$

Rõ ràng $2$ kết quả của bạn và mình là như nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-09-2014 - 15:08

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh