Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Đề thi chuyên Tin Lam Sơn 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1 sherry Ai

sherry Ai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-06-2012 - 23:25

Câu 1: (2,0 điểm)
Cho $a=x+\frac{1}{x},b=y+\frac{1}{y},c=xy+\frac{1}{xy}$ với x, y là các số thực dương thỏa mãn $xy\neq 0$. Chứng minh biểu thức: $A=a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc$ không phụ thuộc vào x, y.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho phương trình $x^{2}-(2m+1))x+m^{2}+m-6=0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1}^{3}-x_{2}^{3}|=35$.
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{3x+2y}=-1& & \\ \sqrt{x+y}+x-y=0& & \end{matrix}\right.$
Câu 3:(2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $y^{3}=1+x+x^{2}+x^{3}$
Câu 4:(3,0 điểm)
CHo tam giác ABC nhọn, AK là đường cao, trực tâm H. Gọi I là trung điểm BC. đường tròn đường kính BC và đường tròn đường kính AI cắt nhau tại 2 điểm phân biệt E và F. CHứng minh rằng:
a) KA là phân giác trong của $\widehat{EKF}$
b) Đường trong đi qua 3 điểm E, K, H tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
c) BA điểm E,H,F thẳng hàng.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điểu kiện : x+y=1.
Tìm Min: $P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

#2 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 19-06-2012 - 08:08

Câu 1 đơn giản quá rồi mình thế trực tiếp và và rút gọn đi thôi
$a^2 +b^2 +c^2 -abc = x^{2}y^2 +\frac{1}{x^2y^2} + 2 + x^2 + y^2 +\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + (xy+\frac{1}{xy})(xy+\frac{1}{xy}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
đến đây nhân tiếp vô nhé

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#3 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 19-06-2012 - 08:20

3)$x^{3}\leq 1+x+x^{2}+x^{3}\leq (x+1)^{3}$
$\Rightarrow x^{3}\leq y^{3}\leq (x+1)^{3}$
nếu x=y $\Rightarrow$ vô nghiệm
nếu $y^{3}=(x+1)^{3}$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+2x=0$
Vậy nghiệm pt là (0;1);(-1;0)

#4 minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:C. Toán 10A2 - HSGS
  • Sở thích:Doing math !!!

Đã gửi 19-06-2012 - 09:58

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điểu kiện : x+y=1.
Tìm Min: $P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Câu BĐT dễ thở :)
SOLUTION:

$ĐK: 0<x,y<1$
- Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 2 số, ta có:
$$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}+\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y(1-y)}}\ge \frac{x\sqrt{x}}{\frac{x+1-x}{2}}+\frac{y\sqrt{y}}{\frac{y+1-y}{2}}=2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})\ \ (*)$$
Mặt khác, áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số, ta có:
$$x\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.x\sqrt{x}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$$
$$y\sqrt{y}+y\sqrt{y}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{y\sqrt{y}.y\sqrt{y}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}y$$
-Cộng vế với vế của 2 BĐT cùng chiều trên, ta có:
$$2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+\frac{\sqrt{2}}{2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}(x+y)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\ge \sqrt{2}
\ \ (**)$$
-Kết hợp $(*)$ và $(**)$ suy ra:
$$P\ge \sqrt{2} \ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!

#5 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 19-06-2012 - 10:03

Chém tiếp 2a:
Pt có 2 nghiệm x1,x2 $\Leftrightarrow 4m^2 +4m +1 -4m^2 - 4m + 24 = 25 > 0$
vậy pt có 2 nghiệm phân biệt $x= \frac{2m+1+5}{2}=m+3$
hay $x= \frac{2m+1-5}{2}= m-2$
do vai trò $x_1,x_2$ như nhau nên không mất tính tổng quát giải sử $x_1=m+3,x_2=m-2$
ta có : $\left | x_{1}^3 -x_{2}^3 \right |=35$
$\Leftrightarrow \left | (m+3)^3-(m-2)^3) \right |=35$
$\Leftrightarrow \left | 15m^2+15m+35 \right | = 35$
chứng minh được $15m^2 + 15m +35 > 0$
vậy $15m^2 + 15m + 35 = 35$
$\Leftrightarrow m=0$ hay $m=-1$

chém cực trị luôn nhé :
mình cũng có ý tưởng giống bạn kia nhưng mình không xài cauchy ba số:
$P \geq 2(x\sqrt{x} + y\sqrt{y})$
$\sqrt{x}(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 \geq 0$
$\Rightarrow x\sqrt{x} \geq \sqrt{2}x -\frac{1}{2}\sqrt{x}$
tương tự: $y\sqrt{y} \geq \sqrt{2}y - \frac{1}{2}\sqrt{y}$
cộng lại kết hợp với $x+y=1$ và $\sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2(x+y)} = \sqrt{2}$
ta có $2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}) \geq \sqrt{2}$
vậy $P \geq \sqrt{2}$
Dấu = cũng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-06-2012 - 14:42

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#6 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 19-06-2012 - 10:39

CHuyên tin Lam Sơn Thanh Hóa cũng không quá nặng nhỉ

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#7 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 19-06-2012 - 11:07

4a) Dễ c/m AE=AF $\Rightarrow$ dpcm
b) $\widehat{AEI}=90^{\circ}$
$\Rightarrow$ AE là tiếp tuyến (I) (1)
$\Rightarrow$ $AE^{2}=AM.AC=AH.AK$
$\Rightarrow$ $\widehat{AEH}=\widehat{AKE}=\widehat{AKF}=\widehat{AEF}$
Vậy AE là tiếp tuyến (HEK) (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ 2 đường tròn tiếp xúc
c) ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AKE}=\widehat{AKF}=\widehat{AEF}$
$\Rightarrow$ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 19-06-2012 - 11:12


#8 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 19-06-2012 - 11:09

chém luôn bài hình, không biết vẽ hình trên đây nên mong mọi người thông cảm:
a/ chứng minh được AE,AF là 2 tiếp tuyến của (I) nên AE=AF, vậy cung = cung AF của đường tròn đường kính AI.
$\angle AKI =90^{0}$
$\Rightarrow AEKIF$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
$\Rightarrow \angle AKE = \angle AKF \Rightarrow$ đpcm
b/ Gọi M là giao điểm AM với (I) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ HM vuông góc AB tại M.chứng minh được:
$AE^2=AM.AB=AH.AK$
$\Rightarrow \vartriangle AEH \sim \vartriangle AKE(c.g.c)$
$\Rightarrow\angle AEH = \angle AKE$
$\Rightarrow AE$ là tiếp tuyến của (HEK)
$\Rightarrow$ đpcm (TE,IE cùng vuông góc AE tại E)
c/cm tren $\angle AEH = \angle AKE$
Mà $\angle AEF = \angle AKE$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung = nhau)
$\Rightarrow \angle AEF = \angle AEH$
$\Rightarrow$ 2 tia HE, HF trùng nhau hay E,H,F thẳng hàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 21-06-2012 - 17:05

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#9 Nhóc shiho

Nhóc shiho

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 19-06-2012 - 11:35

Cho mình hỏi là chuyên Tin riêng, chuyên Toán riêng hả các bạn

#10 tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 20-06-2012 - 17:48

Câu BĐT dễ thở :)
SOLUTION:

$ĐK: 0<x,y<1$
- Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 2 số, ta có:
$$P=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}+\frac{y\sqrt{y}}{\sqrt{y(1-y)}}\ge \frac{x\sqrt{x}}{\frac{x+1-x}{2}}+\frac{y\sqrt{y}}{\frac{y+1-y}{2}}=2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})\ \ (*)$$
Mặt khác, áp dụng BĐT $AM-GM$ cho 3 số, ta có:
$$x\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{x\sqrt{x}.x\sqrt{x}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}x$$
$$y\sqrt{y}+y\sqrt{y}+\frac{\sqrt{2}}{4}\ge 3\sqrt[3]{y\sqrt{y}.y\sqrt{y}.\frac{\sqrt{2}}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}y$$
-Cộng vế với vế của 2 BĐT cùng chiều trên, ta có:
$$2(x\sqrt{x}+y\sqrt{y})+\frac{\sqrt{2}}{2}\ge \frac{3\sqrt{2}}{2}(x+y)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\\Rightarrow 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})\ge \sqrt{2}
\ \ (**)$$
-Kết hợp $(*)$ và $(**)$ suy ra:
$$P\ge \sqrt{2} \ (const)$$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$


Cách khác nhé :
Ta có $\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{-(1-x)+1}{\sqrt{1-x}}+\frac{-(1-y)+y}{\sqrt{1-y}}=-(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})+(\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-y}})$
Ta có $-(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})\geq \sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{\sqrt{1-y}}\geqslant \frac{4}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}}\geqslant 2\sqrt{2}$
=> P$\geq \sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 20-06-2012 - 18:13

- tkvn 97-


#11 tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 20-06-2012 - 18:10

Đề chuyên toán Lam sơn- THanh Hóa năm nay dễ thở :
Câu 1 (2 điểm)
Cho $a=x+\frac{1}{x}$ ; b= $y+\frac{1}{y}$ và c = $xy+\frac{1}{xy}$ với các số thực x, y thõa mãn $xy\neq 0$
Tính giá tri biểu thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}-abc$.
Câu 2. (2 điểm) Cho phương trình $(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=mx^{2}$ ( m là tham số)
Giả sử m nhận các giá trị sao cho phương trình có bốn nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ đều khác 0. Chứng minh rằng giá trị biểu thức $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{1}{x_{4}}$ không phụ thuộc vào m .
Câu 3 ( 2 điểm)
Tìm số nguyên dương n sao cho $\frac{n(2n-1)}{26}$ là số chính phương .
Câu 4. (3 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi (I) , (K) lần lượt là các đường tròn nội tiếp các tam giác ABH , AHC . Đường thẳng KI cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh AC tại N .
a) Chứng minh $\frac{HI}{HK}=\frac{HB}{HA}$.
b) Chứng minh rằng AM = AN .
2) Cho tam giác nhọn ABC , D là điểm trên cạnh AB $(D\neq A, B )$, trung tuyến AM cắt CD tại E .
Chứng minh rằng nếu $\widehat{DBM}+\widehat{DEM }=180^{0}$ thì $BC< AC\sqrt{2}$
Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là các só thực thay đổi thõa mãn $x> 1, y>1$ và $x+y\leq 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{4}}{(y-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(x-1)^{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 20-06-2012 - 18:14

- tkvn 97-


#12 tkvn97

tkvn97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 381 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 20-06-2012 - 18:15

Minh pót sai một chỗ ở bài chốt chuyên tin là lớn hơn hoaawcj bằng $-\sqrt{2}$

- tkvn 97-


#13 vubac

vubac

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Dinh
  • Sở thích:Sáng tạo và tìm tòi

Đã gửi 20-06-2012 - 19:19

Câu cuối chuyên tin:

$\frac{x}{{\sqrt y }} + \frac{y}{{\sqrt x }} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} \ge \frac{{{{(x + y)}^2}}}{{\frac{{x + y}}{2}\sqrt {2(x + y)} }} = \sqrt 2$

Cách khác:

$B = {\left( {\frac{x}{{\sqrt y }} + \frac{y}{{\sqrt x }}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{y} + \sqrt {xy} + \sqrt {xy} + \frac{{{y^2}}}{x} + \sqrt {xy} + \sqrt {xy} - 2\sqrt {xy}$

$\ge 3x + 3y - 2\sqrt {xy} \ge 2x + 2y = 2$

#14 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 20-06-2012 - 21:54

Câu 2: (2,0 điểm)
b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{3x+2y}=-1& & \\ \sqrt{x+y}+x-y=0& & \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu ta được:
\[\begin{array}{l}
\sqrt {x + y} + 1 = \sqrt {3x + 2y} \\
\Leftrightarrow x + y + 1 + 2\sqrt {x + y} = 3x + 2y \\
\end{array}\]
Thế phương trình hai vào biểu thức trên, ta được:
\[y = 4x - 1\]
Thế vào phương trình thứ hai ta được:
\[\sqrt {5x - 1} = 3x - 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 3 \\
x = \frac{2}{9} \Rightarrow y = - \frac{1}{9} \\
\end{array} \right.\]
Thử lại được nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;3} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 20-06-2012 - 21:57

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#15 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 20-06-2012 - 22:31

Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là các só thực thay đổi thõa mãn $x> 1, y>1$ và $x+y\leq 4$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x^{4}}{(y-1)^{3}}+\frac{y^{4}}{(x-1)^{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {y - 1} \right)}^3}}} + 48\left( {y - 1} \right) \ge 32x \\
\frac{{{y^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} + 48\left( {x - 1} \right) \ge 32y \\
\end{array} \right. \Rightarrow P \ge 96 - 16\left( {x + y} \right) \ge 32\]

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#16 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-06-2012 - 22:32

chém luôn bài hình, không biết vẽ hình trên đây nên mong mọi người thông cảm:
a/ chứng minh được AE,AF là 2 tiếp tuyến của (I) nên AE=AF, vậy cung = cung AF của đường tròn đường kính AI.
$\angle AKI =90^{0}$
$\Rightarrow AEKIF$ nội tiếp đường tròn đường kính AI
$\Rightarrow \angle AKE = \angle AKF \Rightarrow$ đpcm
b/ Gọi M là giao điểm AM với (I) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ HM vuông góc A tại M.chứng minh được:
$AE^2=AM.AB=AH.AK$
$\Rightarrow \vartriangle AEH \sim \vartriangle AKE(c.g.c)$
$\Rightarrow\angle AEH = \angle AKE$
$\Rightarrow AE$ là tiếp tuyến của (HEK)
$\Rightarrow$ đpcm (TE,IE cùng vuông góc AE tại E)
c/cm tren $\angle AEH = \angle AKE$
Mà $\angle AEF = \angle AKE$ ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung = nhau)
$\Rightarrow \angle AEF = \angle AEH$
$\Rightarrow$ 2 tia HE, HF trùng nhau hay E,H,F thẳng hàng

Sao $HM$ vuông góc $A$ tại $M$ được bạn? Nghĩa là gì vậy?

Thích ngủ.


#17 triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường Phổ Thông Năng Khiếu-ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
  • Sở thích:học toán

Đã gửi 21-06-2012 - 17:06

Sao $HM$ vuông góc $A$ tại $M$ được bạn? Nghĩa là gì vậy?

sr nha AB mới đúng đánh nhầm

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh