Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:
$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$
Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của $S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$
Bắt đầu bởi Lamat, 21-06-2012 - 23:37
#1
Đã gửi 21-06-2012 - 23:37
#2
Đã gửi 22-06-2012 - 00:57
Áp dụng BĐT Minxcoki ta cóCho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:
$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$
$$S=\sqrt{x^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$
$$=\sqrt{x^2+(2-y)^2}+\sqrt{(2-x)^2+y^2}\geq \sqrt{(x+2-x)^2+(2-y+y)^2}=2\sqrt{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x,y>0$ và $\frac{x}{2-x}=\frac{2-y}{y}\Leftrightarrow x+y=2$
- donghaidhtt yêu thích
#3
Đã gửi 25-06-2012 - 14:04
Tổng này đối xứng 3 biến mà anh :Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:
$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$
SOLUTION:
-Áp dụng BĐT: $a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}$, ta có:
$$x^2+y^2-4y+4=x^2+(2-y)^2\ge \frac{(x+2-y)^2}{2}\Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}\ge \frac{|x+2-y|}{\sqrt{2}}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có:
$$S\sqrt{2} \ge |x+2-y|+|y+2-z|+|z+2-x|\ge |x+2-y+y+2-z+z+2-x|=6\\\Rightarrow S\ge 3\sqrt{2} (const)$$
Dấy bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Vậy $minS=3\sqrt{2}$ khi $x=y=z=1$
- Lamat, le_hoang1995 và WhjteShadow thích
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh