Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của $S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Lamat

Lamat

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 74 Bài viết
Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:

$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$

#2
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết

Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:

$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$

Áp dụng BĐT Minxcoki ta có
$$S=\sqrt{x^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x-2)^2+y^2}$$
$$=\sqrt{x^2+(2-y)^2}+\sqrt{(2-x)^2+y^2}\geq \sqrt{(x+2-x)^2+(2-y+y)^2}=2\sqrt{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $x,y>0$ và $\frac{x}{2-x}=\frac{2-y}{y}\Leftrightarrow x+y=2$

#3
minhtuyb

minhtuyb

    Giả ngu chuyên nghiệp

  • Thành viên
  • 470 Bài viết

Cho $x, y, z \in \mathbb{R}$. Tìm min của:

$S = \sum_{cyc} \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}$

Tổng này đối xứng 3 biến mà anh :P:
SOLUTION:
-Áp dụng BĐT: $a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}$, ta có:
$$x^2+y^2-4y+4=x^2+(2-y)^2\ge \frac{(x+2-y)^2}{2}\Rightarrow \sqrt{x^2 + y^2 - 4y + 4}\ge \frac{|x+2-y|}{\sqrt{2}}$$
Xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng lại ta có:
$$S\sqrt{2} \ge |x+2-y|+|y+2-z|+|z+2-x|\ge |x+2-y+y+2-z+z+2-x|=6\\\Rightarrow S\ge 3\sqrt{2} (const)$$
Dấy bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
Vậy $minS=3\sqrt{2}$ khi $x=y=z=1$
Phấn đấu vì tương lai con em chúng ta!




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh