Giải
Với $y \geq 1 \,\, (1)$, từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có:$2 = x^5 - x^4 + 2x^2y \geq x^5 - x^4 + 2x^2 $
$\Leftrightarrow x^4(x - 1) + 2(x - 1)(x + 1) \leq 0$
$\Leftrightarrow (x - 1)(x^4 + 2x + 2) \leq 0$
$\Leftrightarrow x \leq 1$
Từ đó, theo phương trình thứ 3 của hệ, ta có:
$2 = z^5 - z^4 + 2z^2x \leq z^5 - z^4 + 2z^2$
$\Leftrightarrow z^4(z - 1) + 2(z - 1)(z + 1) \geq 0$
$\Leftrightarrow (z - 1)(z^4 + 2z + 2) \geq 0$
$\Leftrightarrow z \geq 1$
Với điều kiện $z \geq 1$, theo phương trình thứ hai của hệ, ta có:
$2 = y^5 - y^4 + 2y^2z \geq y^5 - y^4 + 2y^2 $
$\Leftrightarrow (y - 1)(y^4 + 2y + 2) \leq 0$
$\Leftrightarrow y \leq 1 \,\, (2)$
Từ (1) và (2), suy ra: y = 1. Khi đó: x = z = 1.
Hệ có nghiệm: x = y = z = 1.
Tương tự với TH $y \leq 1$.
Chú ý: $A^4 + 2A + 2 = (A^2 - 1)^2 + 2(A + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{1}{2} > 0$