Giải các HPT sau:2.$\left\{\begin{matrix} y(1+2x^{3}y)=3x^{6} & \\ 1+4x^{6}y^{2}=5x^{6} & \end{matrix}\right.$
#1
Posted 22-06-2012 - 09:23
1.$\left\{\begin{matrix} x^{3}y(1+y)+x^{2}y^{2}(2+y)+xy^{3}-30=0 & \\ x^{2}y+x(1+y+y^{2})+y-11=0 & \end{matrix}\right.$
2.$\left\{\begin{matrix} y(1+2x^{3}y)=3x^{6} & \\ 1+4x^{6}y^{2}=5x^{6} & \end{matrix}\right.$
3.$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1 & \\ x\sqrt{3x-2xy+1}=4xy+3x+1 & \end{matrix}\right.$
4.$\left\{\begin{matrix} x^{5}+y^{4}x=y^{10}+y^{6} & \\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^{2}+8}=6 & \end{matrix}\right.$
5.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=1 & \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \end{matrix}\right.$
6.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0 & \\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 & \end{matrix}\right.$
7.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0 & \\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 & \end{matrix}\right.$
8.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2y^{2}+3y+3=0 & \\ 2y^{3}+2y^{2}+3z+3=0 & \\ 2z^{3}+2x^{2}+3x+3=0 & \end{matrix}\right.$
9.$\left\{\begin{matrix} x^{5}-x^{4}+2x^{2}y=2 & \\ y^{5}-y^{4}+2y^{2}z=2 & \\ z^{5}-z^{4}+2z^{2}x=2& \end{matrix}\right.$
- hoangtrong2305, namcpnh, donghaidhtt and 2 others like this
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
#2
Posted 22-06-2012 - 13:07
Tạm thời minh xin được giải bài này.Giải các hệ phương trình sau:
4.$\left\{\begin{matrix} x^{5}+y^{4}x=y^{10}+y^{6} & \\ \sqrt{4x+5}+\sqrt{y^{2}+8}=6 & \end{matrix}\right.$
Đặt $x=t^{2}$,khi đó PT1 thành:
$t^{10}+y^{4}t^{2}=y^{10}+y^{6}$
<=>$(t^{10}-y^{10})+y^{4}(t^{2}-y^{2})=0$
<=>$t^{2}=y^{2}$
<=>$x=y^{2}$.
Thay vào PT2 ta được:
$\sqrt{4y^{2}+5}+\sqrt{y^{2}+8}=6$
<=>$\sqrt{4y^{2}+5}-3+\sqrt{y^{2}+8}-3=0$
<=>$\frac{4(y^{2}-1)}{\sqrt{4y^{2}+5}+3}+\frac{y^{2}-1}{\sqrt{y^{2}+8}+3}=0$
<=>$y^{2}=1$
<=>$x=1$
Vậy (x;y)={(1;1),(1:-1)}
- minhdat881439 and donghaidhtt like this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#3
Posted 22-06-2012 - 14:09
Ra thêm bài này nữa rồi.Xin trình bày cách giải.3.$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1 & \\ x\sqrt{3x-2xy+1}=4xy+3x+1 & \end{matrix}\right.$
Từ PT1 ta lần lượt nhân lượng liên hợp $x-\sqrt{1+x^{2}}$ và $y-\sqrt{1+y^{2}}$ rồi cộng hai biểu thức lại ta có:
$x+y=0 <=> y=-x$
Thay vào PT2 ta được $x\sqrt{2x^{2}+3x+1}+4x^{2}-3x-1=0$
<=>$6x^{2}+x\sqrt{2x^{2}+3x+1}-(2x^{2}+3x+1)=0$
<=>$(2x+\sqrt{2x^{2}+3x+1})(3x-\sqrt{2x^{2}+3x+1})=0$
<=>$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+3x+1}=-2x (1)\\ \sqrt{2x^{2}+3x+1}=3x (2) \end{matrix}\right.$
(1)<=>$\left\{\begin{matrix} x\leq 0\\ 2x^{2}-3x-1=0 \end{matrix}\right.$
<=>$x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$ (vì $x\leq 0$) =>$y=\frac{\sqrt{17}-3}{4}$
(2)<=>$\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ 7x^{2}-3x-1=0 \end{matrix}\right.$
<=>$x=\frac{3+\sqrt{37}}{14}$
=>$y=-\frac{3+\sqrt{37}}{14}$.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm.
- minhdat881439 and donghaidhtt like this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#4
Posted 22-06-2012 - 15:53
5.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=1 & \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=1 & \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \end{matrix}\right.$
ĐKXĐ: $|x|\geq |y|$
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=1 & \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-2\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \\ 2x^{2}+2\sqrt{x^{4}-y^{4}}=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}-y^{2}}=2x-1 & \\ 2\sqrt{x^{4}-y^{4}}=2x^{2}-1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x^{2}-4y^{2}=4x^{2}-4x+1 & \\ 4x^{4}-4y^{4}=4x^{4}-4x^{2}+1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4y^{2}=4x-1 & \\ 4y^{4}=4x^{2}-1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{4y^{2}+1}{4}=x& \\ 4y^{4}=4x^{2}-1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 4y^{4}=4(\frac{4y^{2}+1}{4})^{2}-1$
$\Leftrightarrow 16y^{4}=16y^{4}+8y^{2}+1-4$
$\Leftrightarrow 8y^{2}-3=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{\sqrt{6}}{4}\\ y=-\frac{\sqrt{6}}{4} \end{bmatrix}$
$\Rightarrow x= \frac{5}{8}$
Thử lại, ta nhận 2 kết quả
Edited by hoangtrong2305, 22-06-2012 - 16:02.
- namcpnh, minhdat881439 and donghaidhtt like this
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#5
Posted 22-06-2012 - 16:00
rõ ràng $x,y\neq 0$Giải các hệ phương trình sau:
2.$\left\{\begin{matrix} y(1+2x^{3}y)=3x^{6} & \\ 1+4x^{6}y^{2}=5x^{6} & \end{matrix}\right.$
$(1)<=>(1+2x^{3}y)=\frac{3x^{6}}{y}$
$(2)<=>(1+2x^{3}y)^{2}=5x^{6}+4x^{3}y$
nên ta có thay 1 vào 2
$9x^{9}=5x^{3}y^{2}+4y^{3}$
=>$9=5(\frac{y}{x^{3}})^{2}+4(\frac{y}{x^{3}})^{3}$
từ đó giải ra:$\frac{y}{x^{3}}=1$
đến đây dễ thở rồi
- minhdat881439 and donghaidhtt like this
#6
Posted 22-06-2012 - 16:05
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{3}y+x^{2}y^{2})+(x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3})+(x^{2}y^{2}+xy^{3})=30\\ (x^{2}y+xy^{2})+(x+y)+xy=11 \end{matrix}\right.$$1.$\left\{\begin{matrix} x^{3}y(1+y)+x^{2}y^{2}(2+y)+xy^{3}-30=0 & \\ x^{2}y+x(1+y+y^{2})+y-11=0 & \end{matrix}\right.$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)xy(x+y+xy)=30\\ xy(x+y)+(x+y)+xy =11\end{matrix}\right.$$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (x+y)+xy=6\wedge (x+y)xy=5\\ (x+y)+xy=5\wedge (x+y)xy=6 \end{bmatrix}\\$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=5\wedge xy=1\\ x+y=1\wedge xy=5\\ x+y=3\wedge xy=2\\ x+y=2\wedge xy=3 \end{bmatrix} $
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}\wedge y=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\\ x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\wedge y=\frac{5+\sqrt{21}}{2}\\ x=2\wedge y=1\\ x=1\wedge y=2 \end{bmatrix}$
Vậy hệ có 4 nghiệm $(x;y)\in \begin{Bmatrix} (\frac{5+\sqrt{21}}2{;\frac{5-\sqrt{21}}{2}});(\frac{5-\sqrt{21}}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2});(2;1);(1;2)\end{Bmatrix}$
Edited by donghaidhtt, 22-06-2012 - 16:12.
- khanh3570883, namcpnh, minhdat881439 and 1 other like this
#7
Posted 22-06-2012 - 16:16
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-2\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \\ 2x^{2}+2\sqrt{x^{4}-y^{4}}=1 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}-y^{2}}=2x-1 & \\ 2\sqrt{x^{4}-y^{4}}=2x^{2}-1 & \end{matrix}\right.$
Cái này bị sai rồi anh, để khi bình phương 2 vế còn đặt điều kiện nữa.
Edited by donghaidhtt, 22-06-2012 - 16:18.
#8
Posted 22-06-2012 - 16:34
tớ nghĩ là cần sửa lại đk như sauCái này bị sai rồi anh, để khi bình phương 2 vế còn đặt điều kiện nữa.
$x\geq \left | y \right |> 0$ do pt đầu tiên
Edited by minhdat881439, 22-06-2012 - 16:38.
Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng
Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF
#9
Posted 22-06-2012 - 16:36
$\begin{array}{l}5.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=1 & \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}-y^{2}}=1 & \end{matrix}\right.$
\sqrt {x + y} - \sqrt {x - y} = 1 \Rightarrow 2x - 2\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 1 \\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 2\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 1 \\
\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 1 \\
\end{array} \right. \Rightarrow x + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{3}{2} \\
{y^2} = \frac{9}{4} - 3x \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Thế vào pt thứ 2:
$\frac{3}{2} - x + \sqrt {{x^2} + 3x - \frac{9}{4}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{5}{8} \\
y = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{4} \\
\end{array} \right.$
Thử lại...
Edited by khanh3570883, 22-06-2012 - 16:52.
- minhdat881439, donghaidhtt and werfdsa like this
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#10
Posted 22-06-2012 - 16:36
$2\sqrt{x^{4}-y^{4}}=1-2x^{2}$tớ nghĩ là đúng mà
Chứ viết sai là mất điểm như chơi đấy.
#11
Posted 22-06-2012 - 17:30
1$\Rightarrow y= \sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}})=0$Giải các hệ phương trình sau:
6.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0 & \\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 & \end{matrix}\right.$
7.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{2}-2x+y^{2}=0 & \\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 & \end{matrix}\right.$
2$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(y+1)$
thay 1 vào 2 đc:
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6( \sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}+1)=0$
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}})$
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(\frac{(x-1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x})}})=0$
x=1 cái bên trong vô nghiệm vì $x> 0$
Latex mệt wa!!!
Bài còn nhiều sai sót!!!xin mọi người chỉ bảo thêm!!!
Edited by werfdsa, 22-06-2012 - 20:36.
- minhdat881439 likes this
#12
Posted 22-06-2012 - 18:49
Cái này bị sai rồi anh, để khi bình phương 2 vế còn đặt điều kiện nữa.
Uhm, bước cuối cùng anh có ghi câu "thử lại" rồi còn gì, ghi điều kiện để khi có kết quả nếu trái điều kiện sẽ loại ngay, còn a ko ghi nên khi làm xong cần phải thử lại thì mình mới kết luận nghiệm được
Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.
Albert Einstein
(1879-1955)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?
và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống
#13
Posted 22-06-2012 - 20:02
1$\Rightarrow y= \sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}})=0$
2$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(y+1)$
thay 1 vào 2 đc:
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6( \sqrt{\frac{2x}{x^{2}+1}}+1)=0$
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}})$
$\Rightarrow (x-1)^{2}(x+\frac{7}{2})+6(\frac{(x-1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+1(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{2x})}})=0$
x=1 cái bên trong vô nghiệm vì $x> 0$
Latex mệt wa!!!
Bài còn nhiều sai sót!!!xin mọi người chỉ bảo thêm!!!
Bài làm còn thiếu bước chứng minh:
$x\geq0$, cái này suy ra được từ phương trình $(1)$
Tiếp là $y^2(x^2+1)=2x\Rightarrow y^2=\frac{2x}{x^2+1}\Leftrightarrow y=\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} \vee y=-\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}}$, trong đó bạn mới giải được $(1)$ trường hợp !
Edited by luxubuhl, 22-06-2012 - 20:05.
- minhdat881439 and werfdsa like this
#14
Posted 22-06-2012 - 20:43
hoặc$\sqrt{2x}-\sqrt{x^{2}+1}$ thì cũng giống với hai trường hợp ở trên!!! bạn nghĩ gì về điều này!!! liệu ở đó cần có điều kiện j không???
#15
Posted 22-06-2012 - 20:45
Trường hợp 2. $y=-\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} \Rightarrow 1\geq \sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}\rightarrow True$, dấu bằng xảy ra $x=\pm 1$, thử lại thấy $x=-1$, vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất.
Edited by luxubuhl, 22-06-2012 - 20:52.
#16
Posted 22-06-2012 - 23:09
$\Rightarrow 1\geq \sqrt{\frac{2x}{x^2+1}}$----------------------
Trường hợp 2. $y=-\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} \Rightarrow 1\geq \sqrt{\frac{2x}{x^2+1}}$
dựa vào đâu bạn suy ra đc điều này?? giúp mình đc không??
#17
Posted 22-06-2012 - 23:24
#18
Posted 23-06-2012 - 12:41
Theo mình bài này giải như thế này.Giải các hệ phương trình sau:
8.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2y^{2}+3y+3=0 & \\ 2y^{3}+2y^{2}+3z+3=0 & \\ 2z^{3}+2x^{2}+3x+3=0 & \end{matrix}\right.$
Hệ tương đương:
$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}=-(2y^{2}+3y+3)\\ 2y^{3}=-(2z^{2}+3z+3)\\ 2z^{3}=-(2x^{2}+3x+3) \end{matrix}\right.$
Giả sủ $x\geq y$ (1) ta có :$-(2y^{2}+3y+3)\geq -(2z^{2}+3z+3)$
<=>$(2y^{2}+3y+3)\leq(2z^{2}+3z+3)$
<=>$y\leq z$ (vì $-(2t^{2}+3t+3)\leq 0$ với mọi $t\in \mathbb{R}$)
Tương tự từ $y\leq z$ =>;$z\geq x$ =>$y\geq x$ (2)
Từ (1) và (2) =>$x=y$.
Tương tự ta được $x=y=z$
Thay vào phương trình đầu ta được:
$2x^{3}+2x^{2}+3x+3=0$
<=>$(x+1)(2x^{2}+3)=0$
<=>$x=-1$
=>$x=y=z=-1$
Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)={(-1;-1;-1)}
Edited by namheo1996, 23-06-2012 - 12:45.
- minhdat881439 and donghaidhtt like this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#19
Posted 23-06-2012 - 13:08
Cách giải của nambeo1996 bị sai một chỗ, mình sẽ bổ sung như thế này:8.$\left\{\begin{matrix} 2x^{3}+2y^{2}+3y+3=0 & \\ 2y^{3}+2y^{2}+3z+3=0 & \\ 2z^{3}+2x^{2}+3x+3=0 & \end{matrix}\right.$
$\begin{array}{l}
2{x^3} = - \left( {2{y^2} + 3y + 3} \right) = - 2{\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} - \frac{{15}}{8} \\
\Rightarrow x < - \frac{3}{4} \\
\end{array}$
Xét hai hàm:
$\begin{array}{l}
f\left( t \right) = 2{t^3} \\
g\left( t \right) = - 2{t^2} - 3t - 3 \\
\end{array}$
với $t \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{4}} \right)$
Khi đó ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = g\left( y \right) \\
f\left( y \right) = g\left( z \right) \\
f\left( z \right) = g\left( x \right) \\
\end{array} \right.$
Dễ thấy $f\left( t \right)$ và $g\left( t \right)$ đồng biến
Giả sử $x = \max \left\{ {x;y;z} \right\}$. Khi đó:
$f\left( x \right) \ge f\left( y \right) \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( z \right) \Rightarrow y \ge z \Rightarrow f\left( y \right) \ge f\left( z \right) \Rightarrow g\left( z \right) \ge g\left( x \right) \Rightarrow z \ge x$
Làm tương tự ta suy ra $x = y = z$
Thay vào suy ra nghiệm.
P/s: nambeo1996: đoạn $y \le z$ của bạn bị sai do hàm đặc trưng không đơn điệu.
Edited by khanh3570883, 23-06-2012 - 13:12.
- minhdat881439 and donghaidhtt like this
THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT
LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN
Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa
#20
Posted 23-06-2012 - 13:36
Từ đây cho thấy hàm f(t) đơn điệu trong khoảng $(-\infty ;\frac{-3}{4})$
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users