Chủ đề này có 20 trả lời

[congchuabuon]

Em đang có một vấn đề làm em đau đầu mấy hôm nay, mong các anh chị
trong diễn đàn giúp em với.

Dễ dàng thấy C[0,1] là một không gian vector, và mọi họ cơ sở của nó thì có lực lương như nhau. Câu hỏi là một họ cơ sở bất kỳ cua không gian này có đếm được hay không ?

[TQFT]

Định nghĩa thế nào là cơ sở của không gian C[0,1]. Có rất nhiều loại có sở khác hnhau.

[nemo]

Em đang có một vấn đề làm em đau đầu mấy hôm nay, mong các anh chị
trong diễn đàn giúp em với.

Dễ dàng thấy C[0,1] là một không gian vector, và mọi họ cơ sở của nó thì có lực lương như nhau. Câu hỏi là một họ cơ sở bất kỳ cua không gian này có đếm được hay không ?

Có lẽ ý bạn là (C[0,1],R) tức không gian các hàm thực liên tục trên [0,1] (!?)
Cơ sở của không gian vector này là vô hạn không đếm được.

Định nghĩa thế nào là cơ sở của không gian C[0,1]. Có rất nhiều loại có sở khác hnhau.

Không hiểu bạn nói có nhiều loại cơ sở khác nhau là thế nào, định nghĩa cơ sở của không gian Vector là tập độc lập tuyến tính tối đại sinh ra không gian vector đó và trong một không gian Vector bất kỳ thì có thể có nhiều cơ sở nhưng chúng đều có cùng lực lượng.

[congchuabuon]

Mình cũng nghĩ giống nemo nhưng chưa chứng minh được, bạn giúp mình có được ko?

[Mr Stoke]

Mình cũng nghĩ giống nemo nhưng chưa chứng minh được, bạn giúp mình có được ko?

Hệ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{1,x,x^2,\ldots\} là đếm được độc lập tuyến tính trong http://dientuvietnam...cgi?C[0;1] nhưng hiển nhiên không phải là cơ sở ==> cơ sở của http://dientuvietnam...cgi?C[0;1] không đếm được

[N.V.Minh]

Đúng như bác TQFT nói , có nhiều loại cơ sở khác nhau . Cơ sở các anh em đang bàn là đôi khi gọi là cơ sở Hamel . Một loại cơ sở khác , gọi là cơ sở Schauder , đn như sau
- Hệ cơ sở đếm được
- Mỗi phần tử của hệ cơ sở có chuẩn là 1
- Mọi vector của kg có biểu diễn duy nhất như là giới hạn của chuỗi các tổ hợp tuyến tính của các vector trong cơ sở .

Khi đó kg C[0,1] có cơ sở Schauder ( dĩ nhiên đếm được theo đn) , chẳng hạn như hệ của bác Stoke .

Có một số điều thú vị liên quan đến cơ sở Schauder , chẳng hạn kg có cơ sở Schauder là khả li . Năm 1932 ( hay 36 ?) thì phải , Schauder dự đoán mọi kg Banach khả li đều có cơ sở Schauder . Sau đó người ta phát hiện giả thuyết này tương đương với giả thuyết của Banach trước đó 1 năm , phát biểu dưới dạng khác , và người ta gọi nó là phỏng đoán Banach-Schauder . Đầu những năm 50 thế kỉ trước , trong luận án tiến sĩ , Grothendieck đã cm phỏng đoán B-S cho 1 lớp các kg Bn khá rộng . Cuối cùng , năm 1972 , Enflo kết liễu giả thuyết này bằng cách xây dựng một kg Bn khả li không có cơ sở Schauder , đó là kg con đóng của L^p (p>2) . Phản vd này hết sức phức tạp ( L.Schwartz nói vậy )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N.V.Minh: 18-10-2005 - 18:19

[emvaanh]

Mình không hài lòng với cách giải thích của mọi người.
Ta sẽ chứng minh (C[0,1],R) là không gian vector mà mọi họ cơ sở của nó đều không đếm được (thật ra là lực lượng bằng R).
Thật vậy, xét ei=e^it . Khi đó dễ dàng chứng minh họ {ei}i R là độc lập tuyến tính.
Từ đó có đpcm.

[Mr Stoke]

emvaanh doc ki di moi nguoi giai thich on ca day! Vi du cua ban cung okie!

vd to dua o tren khong co topo vao do, chi thuan tuy tuyen tinh thoi, con lai dong y voi bac nvm

[emvaanh]

Muốn chứng minh cơ sở của (C[0,1],R) là không đếm được thì (theo tôi) không cách nào khác là phải chứng minh nó có một tập độc lập tuyến tính không đếm được.
Còn cách giải thích do tập đôc lập tuyến tính đếm được {1,x,x^2,....} không là cơ sở của (C[0,1],R) là hoàn toàn sai lầm.
Ai đảm bảo rằng không có một tập là cở sở đếm được lớn hơn và chứa tập này?
Nên nhớ rằng ta chỉ có lực lượng của các họ cơ sở la như nhau ma thôi.
Để thấy rõ sai lầm, ta xét không gian vecto sinh bơi tập {1,x,x^2....} khi đó nó có cơ sở đếm được nhưng tập độc lập tuyến tính sau lại không là cở sở của nó {1,x^2,x^4...}

[Mr Stoke]

Còn cách giải thích do tập đôc lập tuyến tính đếm được {1,x,x^2,....} không là cơ sở của (C[0,1],R) là hoàn toàn sai lầm.
Ai đảm bảo rằng không có một tập là cở sở đếm được lớn hơn và chứa tập này?

hình như ấy chưa hiểu ý mình : hiển nhiên hệ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{1,x,x^2,....\} độc lập trong C[0;1] nhưng hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?e^x không biểu diễn được qua tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phần tử trong hệ kia ==> không là cơ sở .

Nếu cơ sở của C[0;1] là đếm được thì có 1 song ánh từ 1 cơ sơ nào đó vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\{1,x,x^2,....\} . Chẳng hạn mở rộng ánh xạ này thành ánh xạ tuyến tính theo cách sau : mọi x trong C[0;1] ta có với a_i=0 mọi i từ 1 chỉ số nào đó trở đi rồi đặt . Khi đó f là tự đồng cấu+đơn cấu và do đó đẳng cấu ==> f biến cơ sở thành cơ sở ==> mt!

Thế đã được chưa nhẩy

[Hatucdao]

Giải thích của bác Mr Stoke là hoàn toàn sai lầm.
Cho là bác xây dựng được ánh xạ tuyến tính như vậy đi, thì nó chỉ là đẳng cấu giữa 2 k/g: C[0,1] và không gian F sinh bởi http://dientuvietnam...?{1,x,x^2,...}. Thì nó biến cơ sở trong C[0,1] thành cơ sở của F (là http://dientuvietnam...i?{1,x,x^2,...}), và chẳng có gì mâu thuẫn cả.

Ở trên đồng chí Emvaanh đã cho ví dụ rõ ràng rồi:

Để thấy rõ sai lầm, ta xét không gian vecto sinh bơi tập {1,x,x^2....} khi đó nó có cơ sở đếm được nhưng tập độc lập tuyến tính sau lại không là cở sở của nó {1,x^2,x^4...}

---------------
Ở đây có lẽ cơ sở được định nghĩa là họ độc lập tuyến tính sinh ra không gian (sinh theo nghĩa đại số thông thường, tức là lấy bao tuyến tính của nó).

[Mr Stoke]

Cong nhan sai lam cua to o cho don cau==> dang cau, cai nay chi dung tren kg hh chieu. Tui se ngam cuu de xem co the khac phuc duoc khong!

Co so dang hieu o day dung la nhu vay!

[emvaanh]

Cở sở của C[0,1] là không đếm được, và câu hỏi tiếp sức congchuabuon cho mọi người là có hay không môt họ không đếm được rời nhau gồm các cở sở khác nhau nằm trên biên quả cầu đơn vị của không gian này???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 26-10-2005 - 08:05

[Hatucdao]

Cở sở của C[0,1] là không đếm được, và câu hỏi tiếp sức congchuabuon cho mọi người là 'số' các cở sở khác nhau của không gian này có không đếm được không???

Câu hỏi này hơi kì quặc, tuy nhiên dễ thấy là mọi ko gian vecto khac rỗng đều có vô hạn ko đếm được các cơ sở phân biệt. Chẳng hạn như trong R, ta có thể chọn {a} làm cơ sở với a là số thực khác 0 bất kì.

[emvaanh]

A. câu hỏi trước kì cục do mình ghi sai một ý.
Tuy nhiên điều mình muốn hỏi không phải chỉ để hỏi đâu, tại mình biết rằng khó mà có thể trả lời đươc đó!!!
Có những câu hỏi chỉ để hỏi mà thôi, ta nên biết dưng ở chỗ nào đó chứ đừng mãi hỏi làm gì đúng không mọi người???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi emvaanh: 26-10-2005 - 08:03

[emvaanh]

Có lẽ sẽ không thể nào trả lời được câu này, bởi vì đơn giản là sau khi có một họ cơ sở trên biên quả cầu (không gian ban đầu là (C[0,1], R) với môt chuẩn nào đó), ta không có cách gì xây dựng được môt họ khác trên biên quả cầu luôn mà rời hoàn toàn so với họ này. Nên nhớ là để chứng nình tồn tại một họ cơ sở là vất vả lắm rồi chứ huống chi tìm một họ cơ sở khác 'không dính líu' gì tới họ này.

[emvaanh]

Mình nói vậy thôi chứ hiên mình đã có rất nhiều cách xây dưng môt họ như thế. Hay cô lên nha các bạn.

[congchuabuon]

to emvaanh: Lục sư huynh đã biết thân phận tụi mình, muội ko đùa nữa đâu Tứ sư huynh. Tứ huynh cũng đừng đại náo diễn đàn làm gì, tập trung mà luyện công đi. Đại sư huynh, nhị sư huynh, tam sư huynh, ngũ sư huynh đang bế quan luyện công mà bọn mình cứ rong chơi mãi thì coi sao được?

[emvaanh]

Thất muội nói phải lắm! Từ nay huynh hứa sẽ siêng năng luyện công hơn, bớt quậy phá diễn đàn. Tạm biệt mọi người!

[realnumber]

Không gian C([0,1]) với chuẩn sup thông thường là không gian Banach và do đó không thể có cơ sở đếm được. Đây là một hệ quả của mệnh đề sau:
Mệnh đề. "Mọi không gian Banach đều không thể có cơ sở đếm được"
Để chứng minh mệnh dề trên, có thể dùng định lý Baire "nếu X là không gian mêtric đầy đủ và X là hội đếm được của những tập đóng khác rỗng thì phải tồn tại một tập A_{i} nào đó có phần trong khác rỗng" và một kết quả cơ bản "mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn đều là tập đóng"