1 reply to this topic

[sky021093]

Câu I: Cho hàm số $y = \frac{m}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + 3(m - 2)x$ (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (1) khi m = 3.
2. Tìm m đề hàm số đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Câu II:
1: Giải phương trình: $2\tan x + \tan {\rm{2}}x = {\tan ^2}x.\tan 2x$
2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\
x\sqrt x + y\sqrt y = 35
\end{array} \right.$

Câu III: Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{x+tanx}{1+cos2x}dx$


Câu IV: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thoả $x{}^2 + {y^2} + {z^2} = 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức:
$P = {x^3} + {{\rm{y}}^{\rm{3}}} + {z^3} + 6(x + y + z)$


Câu V: Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số $y = \sqrt {8 - {2^x}} + \sqrt {{2^x} + 4} $ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu II:
1: Giải phương trình: $2\tan x + \tan {\rm{2}}x = {\tan ^2}x.\tan 2x$
2: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\
x\sqrt x + y\sqrt y = 35
\end{array} \right.$

Giải

1. ĐK: $\left\{\begin{array}{l}\cos{x} \neq 0\\\cos{2x} \neq 0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x \neq \pm \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\\x \neq \pm \dfrac{\pi}{4} + k\pi\end{array}\right.$

Phương trình tương đương:
$$2\tan{x} = \tan{2x}(\tan^2{x} - 1)$$
- Với $\tan{x} = \pm 1$
$\Rightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi; x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$

Kết hợp với điều kiện, ta loại các nghiệm này.

- Với $\tan{x} \neq \pm 1$

$\Rightarrow \tan{(2x)} = \dfrac{2\tan{x}}{\tan^2{x} - 1}$

$\Leftrightarrow \tan{2x} = - \tan{2x} \Leftrightarrow 2\tan{2x} = 0$

$\Rightarrow x = \dfrac{k\pi}{2} \, (k \in Z)$

Kết hợp với điều kiện, suy ra:
$k = 2m \Rightarrow x = \dfrac{k.\pi}{2} = m\pi \, (m \in Z)$

2. ĐK: $x; y \geq 0$

Hệ phương trình ban đầu tương đương:
$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y} ) = 30\\(\sqrt{x} + \sqrt{y})^3 - 3\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 35\end{array}\right.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{xy} = P\\\sqrt{x} + \sqrt{y} = S\end{array}\right. \, (S^2 \geq 4P \geq 0)$

Hệ trở thành:
$\left\{\begin{array}{l}SP = 30\\S^3 - 3PS = 35\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}SP = 30\\S^3 = 125\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}S = 5\\P = 6\end{array}\right. ™$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5\\\sqrt{xy} = 6\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} = 2\\\sqrt{y} = 3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} = 3\\\sqrt{y} = 2\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l}x = 4\\y = 9\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x = 9\\y = 4\end{array}\right.\end{array}\right.$