2 replies to this topic

[Alexman113]

Giải phương trình: $$\dfrac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+ \dfrac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}$$

[T M]

Giải phương trình: $$\dfrac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+ \dfrac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}$$

$\fbox{$\text{Lời giải}$}$

Sau một lúc ngồi solve, thấy $x=2$ là nghiệm duy nhất, ta đi chứng minh $x=2$ là nghiệm duy nhất.

Nhận thấy $VP$ đồng biến ta tìm cách chứng minh $VT$ đồng (nghịch) biến trên $x\in[\sqrt{3};+\infty)$

Đặt $VT=f(x)$, có

$f'(x)=\frac{\left ( \sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}} \right )+(x+\sqrt{3})\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{3}}} \right )}{\left ( \sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}} \right )^2}+\frac{\left ( \sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}} \right )+(x-\sqrt{3})\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{x-\sqrt{3}}}\right )}{\left ( \sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}} \right )^2}$

Mặt khác ta chứng minh được

$\left ( \sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}} \right )+(x-\sqrt{3})\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{x-\sqrt{3}}} \right)>0 \forall x\in[\sqrt{3};+\infty)$

Nên $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

-----------------------------------------------------


Hoàn thiện lời giải.

Phần chứng minh

$\left ( \sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}} \right )+(x-\sqrt{3})\left ( \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{x-\sqrt{3}}} \right)>0 \forall x\in[\sqrt{3};+\infty)$

Ta chứng minh như sau

Đặt $\sqrt{x-\sqrt{3}}=a\Rightarrow x=a^2+\sqrt{3}$

Thế vào ĐPCM ta được

$$\sqrt{a^2+\sqrt{3}}+\frac{a^2}{2\sqrt{a^2+\sqrt{3}}}-\frac{3a}{2}>0\\
\Leftrightarrow \frac{2(a^2+\sqrt{3})+a^2-3a\sqrt{a^2+\sqrt{3}}}{2\sqrt{a^2+\sqrt{3}}}>0\\
\Leftrightarrow \frac{\left ( b-a \right )\left ( 2b-a \right )}{2a}>0$$

Với $\left\{\begin{matrix}
b=\sqrt{a^2+\sqrt{3}} & & \\ a=\sqrt{x-\sqrt{3}}
& &
\end{matrix}\right.$


-------------------------------------------

Vậy $\fbox{$x=2$}$

Edited by luxubuhl, 26-06-2012 - 17:46.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình: $$\dfrac{x+\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{x+\sqrt{3}}}+ \dfrac{x-\sqrt{3}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-\sqrt{3}}}=\sqrt{x}$$

Giải

ĐK: $x \geq \sqrt{3}$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\dfrac{(x + \sqrt{3})(\sqrt{x+\sqrt{3}} - \sqrt{x})}{x + \sqrt{3} - x} + \dfrac{(x-\sqrt{3})(\sqrt{x}+\sqrt{x-\sqrt{3}})}{x - (x - \sqrt{3})} = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(x + \sqrt{3})\sqrt{x + \sqrt{3}} + (x - \sqrt{3})\sqrt{x - \sqrt{3}} - 2\sqrt{3x}}{\sqrt{3}} = \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow (x + \sqrt{3})\sqrt{x + \sqrt{3}} + (x - \sqrt{3})\sqrt{x - \sqrt{3}} = 3\sqrt{3x} \,\, (2)$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt{x + \sqrt{3}} > 0\\b = \sqrt{x - \sqrt{3}} \geq 0\end{array}\right. \,\, (a > b)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2 + b^2 = 2x\\a^2 - b^2 = 2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Phương trình (2) trở thành:
$a^3 + b^3 = 3.\dfrac{a^2 - b^2}{2}.\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$

$\Leftrightarrow (a + b)(a^2 - ab + b^2 - \dfrac{3}{2}(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow 2(a^2 - ab + b^2) - 3(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} = 0$

(Do $a > 0; b \geq 0 \Rightarrow a + b > 0$)

$\Leftrightarrow (a - b)^2 + (a^2 + b^2) - 3(a - b)\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}(a - b)^2 - 3(a - b)\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{2}(a^2 + b^2) = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\dfrac{(a - b)^2}{a^2 + b^2} - 3\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \sqrt{2} = 0 \,\, (a^2 + b^2 > 0)$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{2}\\\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.$

Dễ thấy $\dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq 1 \forall \, a > 0; b \geq 0; a > b$

$\Rightarrow \dfrac{a - b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow 2(a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + b^2$

$\Leftrightarrow a^2 - 4ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a = (2 + \sqrt{3})b\\a = (2 - \sqrt{3})b\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} a^2 = (7 + 4\sqrt{3})b^2\\a^2 = (7 - 4\sqrt{3})b^2\end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x + \sqrt{3} = (7 + 4\sqrt{3})(x - \sqrt{3})\\x + \sqrt{3} = (7 - 4\sqrt{3})(x - \sqrt{3})\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2\\x = - 2\end{array}\right.$

Kết hợp với ĐK, suy ra x = 2.

P/S: Trông thật lằng nhằng!