4 replies to this topic

[The Eagle]

$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

[tieulyly1995]

Giải PT :
$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$

ĐKXĐ :
$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-x=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}} -(x- \frac{1}{2})$
Nhân liên hợp ta có nhân tử chung là $x^{3}-3x^{2}+3x-3$
giải PT $x^{3}-3x^{2}+3x-3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}-2=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}+1$ (t/m)
Vậy PT có nghiệm .....

[T M]

ĐKXĐ :
$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-x=\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}} -(x- \frac{1}{2})$
Nhân liên hợp ta có nhân tử chung là $x^{3}-3x^{2}+3x-3$
giải PT $x^{3}-3x^{2}+3x-3 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}-2=0\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}+1$ (t/m)
Vậy PT có nghiệm .....

Bạn đoán nhân tử chung $x^3-3x^2+3x-3$ như thế nào vậy ?

[tieulyly1995]

Bạn đoán nhân tử chung $x^3-3x^2+3x-3$ như thế nào vậy ?

Mình thấy bên căn bậc $3$ có $x$ là mũ $2$, còn bên căn bậc $2$ có $x$ là mũ $3$, nên thêm(bớt) $x$ vào ở 2 vế, nhân liên hợp chắc có nhân tử chung

[Phạm Hữu Bảo Chung]

$\sqrt[3]{3x^{2}-3x+3}-\sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$
Bài này cũng có thể giải theo cách này:

Giải

ĐK: $x \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}a = \sqrt[3]{3x^{2}-3x+3} = \sqrt[3]{3(x - \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{9}{4}} \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}}\\b = \sqrt{\frac{x^{3}}{3}-\frac{3}{4}} \geq 0\end{array}\right.$

Theo đề bài, ta có: $a - b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = a - \dfrac{1}{2} \,\, (1)$

Mặt khác, ta thấy:
$a^3 + 3b^2 = 3x^2 - 3x + 3 + x^3 - \dfrac{9}{4} = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4} \,\, (2)$

Thế (1) vào (2), ta có:
$a^3 + 3(a - \dfrac{1}{2})^2 = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow a^3 + 3a^2 - 3a + \dfrac{3}{4} = x^3 + 3x^2 - 3x + \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow (a - x)(a^2 + ax + x^2 + 3a + 3x - 3) = 0$

Dễ thấy: $a^2 + ax + x^2 + 3(a + x) - 3 = (a + \dfrac{x}{2})^2 + \dfrac{3x^2}{4} + 3(a + x) - 3 > 0 \forall a; x \geq \sqrt[3]{\dfrac{9}{4}} $

Do đó: $a = x \Rightarrow \sqrt[3]{3x^2 - 3x + 3} = x$

$\Leftrightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow (x - 1)^3 = 2$

$\Leftrightarrow x = 1 + \sqrt[3]{2}$