Chủ đề này có 4 trả lời

[Tru09]

Hỏi mãi bạn không giảng hộ mình , đành up lên vmf vậy
cho a,d nguyên dương
xét tất cả các số có dạng: a,a+d,a+2d,...,a+nd,......
cmr trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991

[nvhmath]

Giả sử $k\in N$ thỏa: $ a<10^k$, $d<10^k$.
Đặt các số có dạng $a+nd=a_{n}$ và $x_{n}=\frac{a_{n}}{1991}=\frac{a}{1991}+\frac{n\cdot d}{1991}$.
Do $\frac{a}{1991}<10^k$ và $\frac{d}{1991}>0$ tồn tại $m\in N$ thỏa: $x_{m-1}\leq 10^k<x_{m}$ (1)
Ta cũng có
$x_{m}=x_{m-1}+\frac{d}{1991}<x_{m-1}+\frac{10^k}{1991}\leq 10^k+\frac{10^k}{1991}=\frac{1992\cdot 10^k}{1991}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có:
$10^k<x_{m}<\frac{1992\cdot 10^k}{1991}\Rightarrow 1991\cdot 10^k<1991\cdot x_{m}<1992\cdot 10^k$
hay $1991\cdot 10^k<a_{m}<1992\cdot 10^k$.
Vậy $a_{m}$ là số cần tìm.

[Secrets In Inequalities VP]

Mình làm thế này ko bít đúng ko :
Chọn $n= 1991.10^{x}.\frac{1}{d}$ vói $10^{x}>a$ là đuoc số cần tìm .

Sai do $n$ khi đó không nguyên!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 27-06-2012 - 19:36

[nguyenta98]

Hỏi mãi bạn không giảng hộ mình , đành up lên vmf vậy
cho a,d nguyên dương
xét tất cả các số có dạng: a,a+d,a+2d,...,a+nd,......
cmr trong các số đó có ít nhất một số mà 4 chữ số đầu tiên của nó là 1991

Tổng quát: Có ít nhất một số có $n$ chữ số đầu là $\overline{a_1a_2...a_n}$
Giải như sau:
Giả sử $10^{k-1}\le a+d<10^{k}$
Suy ra $0<\dfrac{a}{10^k};\dfrac{d}{10^k}<1$
Ta sẽ chứng minh tồn tại $\overline{a_1a_2...a_n}\le \dfrac{a}{10^k}+n.\dfrac{d}{10^k}<\overline{a_1a_2...a_n}+1$
Tương đương $\dfrac{10^k}{d}(\overline{a_1a_2...a_n}-\dfrac{a}{10^k})\le n\le \dfrac{10^k}{d}(\overline{a_1a_2...a_n}+1-\dfrac{a}{10^k})$
Đây là điều hiển nhiên do luôn tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn BFT kép trên
Do đó bài toán cm

[Secrets In Inequalities VP]

Đề có cho n nguyên đâu e !